Produit Scalaire

[nelloune]

Par contre je ne vois pas comment calculer d(u,F)= inf||u-v||

[GaBuZoMeu]

Pas d'accord. Tu calcules ? Qu'est ce que ça fait pour ?

[nelloune]

Pour e2 je trouve 5

[GaBuZoMeu]

Donc ça ne va pas. Reprends ton calcul de façon plus soigneuse.
As-tu vu ma remarque disant que le carré d'une norme euclidienne qui n'est pas définie positive, ça fait désordre ?

[nelloune]

Non je n'ai pas vus mais du coup j'ai trouvé une autre base qui est :
B={(1,0),(1,1)}

[pascal16]

juste pour pas perdre la main :
soit e1(a,0)
on normalise
||e1||= 1 => a²=1
e1(1,0) est le choix 'direct'.

e2(a,b) doit vérifier
||e2||= 1 et f(e1,e2)=0
f(e1,e2)=0 => a-b=0
||e2||= 1 => a²-2ab+2b²=1
(1,1) et (-1;-1) sont possibles e2(1,1) est le choix 'direct'

B={(1,0),(1,1)}

[nelloune]

D'accord du coup la base orthogonal est bien B={(1,0),(1,1)} ?

[nelloune]

Mais maintenant je suis bloquée pour calculer :
d(u,F)= inf||u-v||

[GaBuZoMeu]

D'accord du coup la base orthogonal est bien B={(1,0),(1,1)} ?

Je t'ai donné le moyen de vérifier que B est UNE (pas LA) b.o.n. As-tu fait cette vérification, pour contrôler ?

Mais maintenant je suis bloquée pour calculer :
d(u,F)= inf||u-v||

Tu sautes les étapes. As-tu calculé la projection orthogonale (pour le produit scalaire de l'exercice) de u sur F ?

[nelloune]

Oui je l'ai calculé et j'ai trouvé 2

[GaBuZoMeu]

Ta réponse n'a aucun sens : on te demande de calculer la projection d'un vecteur u arbitraire sur une droite vectorielle fixée et tu réponds 2 : tous les vecteurs auraient même projection sur la droite, et cette projection serait un nombre et pas un vecteur ???? Allons, ressaisis-toi.

[nelloune]

J'ai la base B={(1,0),(1,1)} et u0=(1,1)

donc je fais <e1,u0>/||e1||^2 . e1 + <e2,u0>/||e2||^2 . e2
Je trouve alors
1.(1,0)+1.(1,1)
ce qui me fais (1,0)+(1,1)
Je trouve comme projecteur orthogonale:
Pf(X)=(2,0)

[GaBuZoMeu]

Ça ne va toujours pas. On te demande la projection orthogonale du vecteur u=(x,y) sur la droite vectorielle F engendrée par le vecteur (1,1).
Le résultat est bien sûr un vecteur de F dont les coordonnées dépendent de x et y.

J'arrête pour ce soir.

[nelloune]

D'accord merci pour votre aide mais du coup je suis bloquée alors à cette question

[pascal16]

... donc je fais <e1,u0>/||e1||^2 . e1 + <e2,u0>/||e2||^2 . e2
Je trouve alors : 0.(1,0)+1.(1,1)
là, tu as exprimé Uo dans la base (e1;e2)

la projection u' du u sur Uo, c'est pas plutôt :

u'= <u,Uo>/||Uo||² * Uo (source wiki)

et comme Uo=e2, on a u'=...e2

[nelloune]

D'accord donc si j'applique votre formule je trouve alors :

<(x,y).(1,1)>/||1^2+1^2||.(1,1)
Ce qui me donne
x+y/2.(1,1)

d'où (x+y/2, x+y/2)

[pascal16]

Soit u0=(1,1) et u(x,y), exprimé dans la canonique

Mais, la notion du projeté orthogonal dépend du produit scalaire choisi, et là, on en a 2, celui de R² dite "norme 2" et celle définie par f.
f est une forme bilinéaire symétrique définie-positive, elle définie donc un produit scalaire dont une norme découle. C'est ce que l'exo demande (cf la petite phrase).

e2(1,1) dans la base canonique
||e2||=1 selon f (rajouter f en indice en bas)

Quand on définie un nouveau produit scalaire, c'est comme regarder le plan avec des lunettes déformantes, il ne faut pas se fier à ce que l'on voit.

[nelloune]

D'accord mais comment j'applique la formule ensuite ?

[pascal16]

avec (x,y) et (1,1) dans la base canonique de R², j'ai :
<(x,y).(1,1)> = x*1+2*y-x*1-1*y = y
soit y*(1,1) comme projeté orthogonal.
C'est aussi pour cette norme le point où la distance est minimale, on cherche donc
|| (x,y)-y*(1,1)|| = || (x-y,0)||
toujours en utilisant la nouvelle norme issue de f.


on peut aussi le faire avec min (|| (x,y)-t*(1,1)||) avec t variant dans R, x et y fixés.
t*(1,1) décrit complètement Vect(Uo) quand t varie dans R
et la définition de la distance correspond à la recherche du minimum de cette valeur quand t varie
on trouve une équation du second degré, et sa valeur min est (x-y)²

[nelloune]

D'accord merci