F'(x)=1/ln(x)

[math71]

Bonjour,
Je dois construire une fonction f de classe sur IR+ telle que pour tout x de ]0;1/2], on ait
f'(x) = 1/ln(x).
je ne vois pas trop comment m'y prendre. Je sais bien que puisque ln est continue et non nulle sur ]0;1/2] elle y admet des primitives, mais comment voir si ses primitives se prolongent par continuité en 0?
Et pour la construction de f au-delà de 1/2, je pensais construire f de sorte que f'(x) = 1/ln(2) pour x>1/2.par construction f' serait continue sur IR+ (en 0, il suffit de voir que lim1/ln(x)=0 lorsque x tend vers 0+)
Merci d'avance à ceux qui prendront du temps pour m'aider.

[pascal16]

en 0, on a une asymptote horizontale, c'est plutôt le cas qui marche bien, c'est en 1 le vrai problème.
Il n'y a pas d'erreur car le domaine parait ne rien à voir avec la question, où alors il faut que j'aille me coucher.

[aviateur]

Bonjour
D'abord la solution n'est pas unique. Ce qu'il faut c'est raccorder la f définie sur [0,1/2] par n'importe qu'elle fonction (de classe C1 au ) moins telle que le raccord soit de Classe C1 sur R^2.

Etape 1. On pose pour tout et f(0)=0.
D'abord cette intégrale est convergente ce qui fait que f est bien définie sur [0,1/2] et continue sur [0,1/2].
Sur ]0,1/2] f est dérivable est f'x)=1/ln(x).
Je te laisse vérifier que f est dérivable en 0 , que f'( 0)=0 et f' est continue sur [0,1/2].
Ainsi la fonction f est de Classe C^1 sur [0,1/2].

Etape 2. Sur on pose Clairement pour tout a,b f est de classe sur

Etape 3 limite à gauche en x=1/2 de f est égal à On pose alors alors f est continu en x=1/2 (donc sur R^2.

Etape 4 limite à gauche en x=1/2 de f est égal à et à droite a.
On pose a=1/(ln(1/2)

reste à vérifier la dérivabilité de f en x=1/2 et la continuité de la dérivée en x=1/2

[math71]

Merci, c'est clair. Comme on vient juste de commencer les intégrales impropres, je n'avais pas eu le réflexe d'écrire la primitive avec l'intégrale du fait du pb en 0, mais comme vous l'expliquez c'est clair.
Sinon, pour [1/2;+infini[, comme f'(1/2)=1/ln(2), j'avais pris la fonction affine f(x) = x/ln(2)+k, où k est la constante choisie de sorte que f soit continue en 1/2. Ca va aussi je pense. Oui?

[math71]

J'ai oublié les "moins" : f'(x)=-1/ln(2)

[aviateur]

Oui ça revient au même, simplement l'écriture f(x)=a(x-1/2)+b donne f(1/2)=b.
Attention il faut tout de même bien expliquer les détails. C'est à dire bien justifier pourquoi la solution est de classe C^1 .

[math71]

Merci! Bonne soirée

[MAV]

Je n'y ai pas compris grand chose vu que la construction de f doit se faire et à partir des réponses que vous avez donner je vois pas trop comment