Forme Quadratique

[nelloune]

Bonjour,
J'ai du mal à utiliser la méthode de réduction Gaussienne sur cette forme quadratique:

q(u)= 3++2xy-2yz+

Merci d'avance

[pascal16]

avec une méthode vue sur le web

on isole tout ce qui est en x

3x²+2xy = 3(x+y/3)² - y²/3

on donc plus de terme en x et en xy, on remplace, on recommence pour ce qui est eny

[GaBuZoMeu]

On a le choix de la variable qu'on commence à éliminer.
Moi, je commencerais à éliminer parce que c'est facile de "compléter le carré" à partir de .

Le résultat auquel on arrivera sera différent, mais avec tout de même des invariants : le rang et la signature.

[aviateur]

Bonjour
La réduction Gaussienne d'une FQ en somme de carrés de formes linéaires indépendantes est algorithmique.
Il vaut mieux s'en tenir là au risque d'écrire des formes non indépendantes.
Pour ta forme FQ, tu commences donc par réduire le terme xy (cf @pascal)
Cela donne
Etape 1.


Tu as ton premier carré et le reste est une forme quadratique qui ne dépend que de y et z :


Etape 2 tu réduis yz


Finalement

Les 3 formes sont indépendantes.

[nelloune]

Merci beaucoup c'est plus clair maintenant

[GaBuZoMeu]

Parler de "réduire le terme xy" induit en erreur. Ce qu'on fait à la première étape, ce n'est pas "réduire xy", mais éliminer une variable, en l'occurrence dans le calcul suggéré par pascal et effectué jusqu'au bout par aviateur ; il aurait mieux valu par ailleurs faire le calcul sans faute, il y a une erreur sur le coefficient de .
L'algorithme de décomposition en carrés de Gauss a beaucoup de similitudes avec l'algorithme du pivot de Gauss (il s'agit dans les deux cas d'éliminer à chaque étape une variable - avec une petite complication dans la décomposition en carrés quad il n'y a pas de carré dans la forme quadratique), et il y a aussi dans ces algorithmes des choix possibles (choix de pivot par exemple) qui permettent de rendre le calcul un peu plus agréable.
J'avais suggéré de commencer par éliminer . En effet, en complétant le carré :

donc

Toujours en complétant le carré pour éliminer :

d'où au final

[aviateur]

Parler de "réduire le terme xy" induit en erreur. Ce qu'on fait à la première étape, ce n'est pas "réduire xy", mais éliminer une variable, en l'occurrence dans le calcul suggéré par pascal et effectué jusqu'au bout par aviateur ; il aurait mieux valu par ailleurs faire le calcul sans faute, il y a une erreur sur le coefficient de .

Je pense qu'il ne faut pas s'arrêter à une petite faute de coefficient et que c'est inutile de jouer sur les mots où par ailleurs celui que j'ai employé n'est pas une faute. Ensuite si on va par là c'est pas "x" qu'on élimine mais le terme "xy".
Ensuite @Nelloune a très bien compris l'algorithme qu'il faut suivre et il ne va pas recopier bêtement mon calcul, si il y a une faute d'opération, il saura très bien la corriger.
Je parle bien ici d'algorithme. Certes je suis d'accord avec toi qu'on peux commencer à faire la réduction en commençant "un peu comme on veut" par éliminer le terme yz, i.e on procède dans un ordre quelconque.
Mais ce n'est plus un algorithme.
En particulier, si il y a une comparaison à faire avec l'algorithme de Gauss pour la résolution d'un système linéaire ou pour le calcul de l'inverse d'une matrice, il y a un ordre préétabli aussi à respecter.
Bon c'est pas grave, si tu n'as pas compris la différence entre une procédure algorithmique et une procédure qui ne l'est pas.

[GaBuZoMeu]

aviateur, tu persistes dans l'erreur de ne pas comprendre que le principe de l'algorithme de décomposition en carrés est l'élimination successive de variables (c'est ça qui assure l'indépendance des formes linéaires obtenues dans la décomposition) et pas une "élimination de xy" comme tu prétends. Tu te fiches complètement dedans, par exemple tu prétends que je commence par éliminer yz alors que dans la façon dont je procède on élimine à la fois xy et yz. Parler de "élimination de xy" ne dit pas quelle variable on élimine en appliquant la technique de "compléter le carré", alors que c'est ça la chose importante, je le répète : éliminer une variable.

Tant pis pour toi, mais je trouve ça dommageable pour les étudiants qui peuvent te lire.

Un algorithme peut très bien comporter des choix. Tu n'as jamais entendu parler d'algorithme probabiliste ?
Ici, le choix se fait non pas au hasard mais selon ce qui paraît faciliter le calcul. La procédure n'en reste pas moins algorithmique. Et quand on traite de systèmes linéaires par exemple, le choix éclairé du pivot est souvent utile pour éviter des discussions parasites sur les paramètres.

[Sa Majesté]

@GaBuZoMeu et aviateur
Le problème est résolu, cette discussion n'intéresse désormais plus que vous deux. Je vous suggère de la poursuivre en MP si toutefois vous y voyez un intérêt.

[fatal_error]

bj,

pas trop d'accord avec @aviateur
choisir l'ordre des variables c'est quand même cool. C'est comme othorgonaliser avec gram schmidt on est pas restreint à faire x,y,z,... dans l'ordre..

je trouve intéressant de proposer de commencer à éliminer y (bon pas outremesure mais ça a le mérite d'être relevé.. en particulier pour le rang et la signature (ce que je n'ai pas démontré soit dit en passant))
je sais pas non plus c'est quoi la def de éliminer mais j'aime bien écrire
q(x...) = (x+??)^2 + rienenx
(j'y ai pas écrit vous aviez déjà répondu)
et l'idée globale c'est quand même d'éliminer x plus que d'éliminer xy et/ou xz et/ou xt...

pour le reste bcp d'égo mis en jeu j'ai l'impression XD