Construction racine p-ème endomorphisme / polynômes

[Statrom]

Bonjour,

Je suis en train de préparer un concours et pour ce faire je m'entraîne avec les sujets des annales et l'un d'entre me laisse perplexe.
Voici l'énoncé :



Je pense avoir réussi la question 1, j'ai trouvé pour v.p. :
lambda0 = -2
lambda1 = 0
lambdaK = (k+2)(k-1)

Du coup dans la question 2, j'arrive à la matrice A qui contient deux -2 et deux 0 sur la diagonale. Et je suis donc bloqué pour trouvé une matrice réelle C telle que C^p = A dans le cas où p est pair...
Quelque chose m'échappe sans doute.

Merci d'avance !

[aviateur]

Bjr
Tes sont faux. Je ne vois pas comment tu as fait pour obtenir cela.
D'autre part le cas p est pair ne pose pas de problèmes.
Par exemple pour p=2 (et je ne considère que le bloc qui te pose problème) avec

on et C est réelle.

[tournesol]

Bonjour aviateur
est égal à 4 avec le polynôme propre

[aviateur]

Oui ok @tournesol. Sa formule est correcte. Donc ne pas tenir compte de ma première remarque
Désolé, mais je me suis trompé en fait dans la numérotation. J'avais associé l'indice k au degré du polynôme.
Donc pour , le polynôme propre est de degré k+2.

Pour la dernière question, on ne voit pas bien ce que veut l'auteur de l'exo.
En effet pour l'opérateur L défini sur tout l'espace, la construction de h me semble uniquement formelle puisque il n'est pas demandé de déterminer les fonction propres pour
Pour un sujet de concours c'est un peu flou tout de même?

[tournesol]

Le risque , c'est que le candidat confonde la construction avec l'existence .
L'exercice étant élémentaire , l'auteur doit simplement vouloir qu'avec la matrice C et la matrice de passage , le candidat calcule la matrice de h dans la base canonique de

[aviateur]

Le risque , c'est que le candidat confonde la construction avec l'existence .
L'exercice étant élémentaire , l'auteur doit simplement vouloir qu'avec la matrice C et la matrice de passage , le candidat calcule la matrice de h dans la base canonique de

Non mais je crois qu'on demande de déterminer h tel que h^p=L (opérateurs définis sur E=R[X]).
C'est pas vraiment compliqué et la difficulté est effectivement pour la restriction à R_3[X] , en particulier à cause de la valeur propre négative -2. Mais même pour cela on ne demande pas de déterminer l'expression de C dans la base canonique.
Donc je pense que la question est vague. Perso j'aurai déterminé l'expression de toutes les valeurs propres
et donner l'expression de h dans cette base. Mais puisqu'on ne demande pas de calculer les valeurs propres....?
En fin de compte ça me laisse un peu perplexe (pour un sujet d'examen).