Continuité des fonction de Rn dans R

[Tom123]

Bonjour,
je cherche une démonstration de:
si f et g sont deux fonctions continue alors f+g et fg le sont aussi (f et g des fonctions de Rn dans R).
Merci d’avance.

[pascal16]

f+g -> on coupe epsilon en 2 en général (que epsilon soit celui du lycée ou un rayon de boule ouverte)

fg : tout dépend à partir de quelle définition de la continuité tu pars, laquelle tu as ?

[Tom123]

Merci de votre réponse
J'ai la définition: f continue en a ssi
∀ε > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ Rn, N(x-a)<r ⇒ |f(x)-f(a)| < ε

[Tom123]

Sinon pour le f+g j'ai :
f continue donc: ∀ε/2 > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ Rn, N(x-a)<r ⇒ |f(x)-f(a)| < ε/2
g continue donc: ∀ε/2 > 0, ∃r' > 0, ∀x ∈ Rn, N(x-a)<r' ⇒ |g(x)-g(a)| < ε/2
Donc pour f+g on a
|f(x)-f(a)| < ε/2 et |g(x)-g(a)| < ε/2 => |f(x)-f(a)| + |g(x)-g(a)|< ε
et |(f+g)(x) - (f+g)(a)| <= |f(x)-f(a)| + |g(x)-g(a)|<ε
Donc f+g continue
c'est bon ?

[pascal16]

l'étape cruciale peut être améliorée :
|(f+g)(x) - (f+g)(a)| = |f(x)+g(x)-f(a)-g(a)| = |f(x)-f(a) + g(x)-g(a) | <= |f(x)-f(a)| + |g(x)-g(a)|

et les epsilon sont pas très bien découpés.

" ∀ε/2 > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ Rn, N(x-a)<r ⇒ |f(x)-f(a)| < ε/2"
plutôt
∀ε1 > 0, ∃r > 0, ∀x ∈ Rn, N(x-a)<r ⇒ |f(x)-f(a)| < ε1
...
puis
soit ε>0
posons ε1 = ε/2
on a donc
....

[Tom123]

Ok merci