Préservation du déterminant
Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
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rdt
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par rdt » 06 Mai 2019, 23:04
Bonsoir
Je souhaite transformer une matrice pour faciliter le calcul de son déterminant.
Est-ce que l’opération suivante ne change pas le déterminant de cette matrice :
(0) ajouter un multiple de la ligne r, à la ligne s;
(1) ajouter un multiple de la ligne s, telle quelle était avant l’opération (0), à la ligne r?
Je conçois que oui s'il existe un multiple xs de s (après (0)) tel que xs = s (avant (0)), mais qu'en est-il en général?
Si la réponse admet une explication peu technique (je débute en algèbre linéaire), je la prendrai volontiers.
Merci d’avance
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Archytas
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par Archytas » 07 Mai 2019, 00:08
Salut,
(0) Oui tu peux (c'est une conséquence directe du fait que le déterminant est une forme alternée).
(1) Non tu peux pas : prends la matrice identité 2x2 (de déterminant 1). Ajoute la première ligne à la seconde et l'ancienne deuxième ligne à la première (ça donne la matrice 2x2 avec que des 1 dedans) tu obtiens une matrice de déterminant 0 donc elle n'est pas semblable à la première.
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rdt
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par rdt » 08 Mai 2019, 10:39
merci Archytas!
Bonne continuation
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pascal16
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par pascal16 » 08 Mai 2019, 14:34
Un truc qui marche pas mal pour les raisonnements sur les déterminant comme forme n-linéaire alternée, c'est de penser le déterminant comme un déterminant de vecteur.
pour une matrice 2*2 :
det(M) est en fait det (L1,L2)
det (L1+kL2,L2) = det(L1,L2)+det(kL2,L2) = det(L1,L2)+0 =det(L1,L2)
det (L1+L2,L2+L1) = det(L1,L2)+det(L2,L1)+0+0=det(L1,L2)-det(L1,L2)=0
on peut généraliser avec deux indices
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