C'est assez basique.
di/dt + (R/L).i = (k/L).t
a) Solutions de : di/dt + (R/L).i = 0 :
i(t) = C.e^(-R/L .t)
b) solution particulière de di/dt + (R/L).i = (k/L).t
Par variation de la constante, une solution particulière est i = f(t) * e^(-R/L .t)
i' = f'(t) * e^(-R/L .t) - (R/L).f(t).e^(-R/L .t)
i' + (R/L).i = f'(t) * e^(-R/L .t) - (R/L).f(t).e^(-R/L .t) + (R/L).f(t) * e^(-R/L .t)
i' + (R/L).i = f'(t) * e^(-R/L .t)
Or i' + (R/L).i = (k/L).t
--> f'(t) * e^(-R/L .t) = (k/L).t
f'(t) = e^(R/L .t) * (k/L).t
f(t) = (k/L) S t.e^(R/L .t) dt
Résolution par parties ... f(t) = (k/L) * L/R² * (R.t - L).e^(R/L .t)
f(t) = (k/R²) * (R.t - L).e^(R/L .t)
--> solution particulière : i = (k/R²) * (R.t - L).e^(R/L .t) * e^(-R/L .t)
i = k/R² * (R.t - L)
c) solutions générales de di/dt + (R/L).i = (k/L).t
i(t) = C.e^(-R/L .t) + k/R² * (R.t - L)
Et si i(0) = 0 --> C - kL/R² = 0 ; C = kL/R²
i(t) = (kL/R)² * .e^(-R/L .t) + k/R² * (R.t - L)
i(t) = k.t/R - (kL/R²).(1 - e^(-R/L .t))
Essaie de comprendre et refais-le seul un peu plus tard.
Recopier sans comprendre est inutile.