Proba : des boules dans des urnes

[Flashtag]

Bonjour tout le monde , je bloque pour un exo de proba qui voici:«Une urne de n boules numérotées de 1 à n .Soit r€ [2,n].On tire avec remise r boules dans l'urne avec remise.
1) on considère l'événement:
Er:«le numero de la boule tirée au r(ieme) tirage est inférieur ou égal à tous les precedents. Determiner la proba de Er. Merci!

[tournesol]

Bonjour
J'ai trouvé que
Avec cette formule , j'ai calculé , ainsi que
On pourrait conjecturer que la réponse est
Je ne l'ai pas démontré .

[beagle]

ce matin j'étais parti sur un raisonnement continu et pas discrte et en plus je l'avais fait à l'envers c'est à dire proba plus grand.

pour autant on devrait retrouver mes chiffre pour du n élevé
et là je ne m'y retrouve pas

on dirait que ta proba va en diminuant non?????

et E1 c'est E2 et E2 c'est E3?

[tournesol]

merci beagle
E1 c'est bien E2 et E2 c'est bien E3
Pour n infini j'ai trouvé E2 équivalent à 1/2 , E3 équivalent à 1/3 et conjecturé que Er est équivalent à 1/r .
On peut vérifier les formules par simulation , ce que je n'ai pas fait .

[beagle]

salut Tournesol,
ce qui me gène c'est que plus on fait de tirage plus j'augmente mon max,
plus j'augmente le max plus j'ai des chances d'ètre en dessous.
la proba devrait augmenter avec r

Ceci étant l'ayant déjà fait à l'envers ce matin je ne suis pas sur d'etre bien réveillé et lire comme il faut.

[tournesol]

L'énoncé dit "inférieur ou égal" .
Si tu augmente le nb de tirages tu diminues le min .

[beagle]

L'énoncé dit "inférieur ou égal" .
Si tu augmente le nb de tirages tu diminues le min .

Oui, désolé tournesol,
je vais y arriver!!!!
Je paye les bouchons d'hier soir, ça m'a tué!

Bon, alors en faisant à l'envers plus grand que le max, c'était peut-être la même chose, non?
Et j'avais pas ces chiffres, mais alors là, le mieux c'est que je me taise.
Bonne journée à tous!

[aviateur]

Bonjour @tournesol.
Ton résultat est correct et le plus simple (pour la preuve) consiste à choisir comme espace fondamental sur lequel la loi de l'expérience aléatoire est la loi uniforme. Il suffit alors de dénombrer le cardinal de l'évènement cherché A qui s'exprime de la façon suivante
vérifiant (1) ci-après
(1) :
Je te laisse alors dénombrer pour chaque k le nombre de r_uplets satisfaisant la condition (1) (c'est une chose aisée et le cardinal de aussi) pour tomber exactement sur ta somme et ta conjecture.

Il y a une autre démonstration moins simple mais "formatrice".
On désigne par on détermine sa loi et on calcule (l'indépendance étant l'ingrédient essentiel à utiliser)

[fatal_error]

EDIT: la suite de mon poste ne répond pas au problème.
L'énoncé valide un tirage type 8,5,6,2 car 2 inférieur à toutes les boules précédentes
ci-dessous j'invalide le tirage 8,5,6,2 car 6 n'est pas inférieur à 5 (chaque boule devant être inférieure ou égale à la précédente). Je suis contraint de laisser ce message... on ne peut plus supprimer ses propres conneries
bj,

une variante tjs avec mes tableaux ...

si on pose un n fixé, par ex 7.
pour r = 1, on a 7 possibilités
1 1 1 1 1 1 1

pour r = 2, on peut écrire

Code: Tout sélectionner

1  1  1  1  1  1  1
7  6  5  4  3  2  1
28 21 15 10 6  3  1
84 56 35 20 10 4  1


T(n,k) représente le nombre de trajets commencant par la boule k, de taille n.
Par exemple T(3,6) == 21 est calculé en disant qu'on compte les chemins de taille 2 qui commencent par 1,2,3,4,5 ou 6
et à chacun de ces chemin, on y accole la boule 6
idem T(2,6)+T(2,5)...+T(1,5)

on peut construire la table plus facilement via
T(i,j) = T(i, j+1) + T(i-1,j)

On note en particulier qu'en sommant les colonnes d'une ligne, on obtient (assez normalement...) le coeff de la ligne suivante première colonne.

en regardant une table de combinatoire, on déduit que la suite 1 7 28 84 210 462 associe
E(r,n) = C(r, n+r-1)
ex: (pour n==7), si r==2, on veut la somme pour deux boules, qui est 28 et C(2,7+2-1) = 28

je pense que ya un moyen moins bête et plus visuel pour trouver C(r,n+r-1) mais bon..

code de dénombrement bête et méchant:

Code: Tout sélectionner

var n = 7;
var k = 3;
function rec(depth, hands, v, left){
    if(depth == 0){
        hands.push(v.slice(0));
        return;
    }
    for(var i = left; i>=1; --i){
        v.push(left);
        rec(depth-1, hands, v, i)
        v.pop();
    }
}

var hands = [];
rec(k, hands, [], n);
console.log(hands);
console.log('nb:', hands.length);


on devrait du coup s'attendre à
P(E_r,n) = C(r,n+r-1)/n^r

EDIT: en regardant wiki, il s'agit de multichoose/k-multicombination (https://en.wikipedia.org/wiki/Combination)

[tournesol]

Merci aviateur
Ta première démo est limpide et consise .
Je n'ai pas réfléchi à la deuxième.
On peut aussi écrire que
. Le calcul se fait par téléscopage.