Exercice de Mathématiques

[MarocHein]

Bonjours à toutes et à tous, alors voici mon problème :

J’ai un exercice assez simple à faire dans le cadre d’un devoir maison, sauf que je coince à partir de la question 2 (montrer qu’elle est croissante).

Voici l’énoncé :
1)Dresser le tableau variation de f(x)=1,8x(1-x) sur [0;1]
2)Soit la suite (Un)>=0 définie par U0=0,3 et Un(+1)= f(Un).
Montrer par récurrence que : Un appartient à [0;1/2] et (Un) croissante

je vous passe la 3) qui est très simple.

J’ai facilement démontré que Un appartient à l’intervalle [0;1/2] (f(0)<=f(Un)<=f(0,5))
soit (0<=Un(+1)<=0,45)
Sauf que maintenant je n’arrive pas à prouver que (Un) est croissante, je vous montre mes résonnements  (assez simplifiés):

Sachant Un+1 = -1,8Un²+1,8Un

1) 0 < Un <1/2

0 < Un²<1/2Un

-0,9Un←1,8Un²<0

0,9Un <Un(+1)< 1,8Un

Or je cherche Un< Un(+1)…
2) Cette fois ci avec 0<=Un(+1)<=0,45, sauf que je tombe cette fois ci sur 0,99Un(+1)<Un(+2)< ??
(en utilisant le même type de récurrence que précédemment)


3) En utilisant Un+1-Un :
Pn « Un(+1)-Un » (je vous passe tous le blabla)

Un(+2)-Un(+1) = -1,8Un²(+1)+1,8Un(+1)+1,8Un²-1,8Un
=-1,8(Un²(+1)-Un²) + 1,8(Un(+1)-Un)
Négatif d'un coté positif de l'autre

4)Un utilisant Un+1/Un

On y arrive assez facilemet mais on divise potentiellement par 0… donc faux.


Merci de votre aide !

[pascal16]

"Un appartient à [0;1/2] "
donc est-ce que tu peux avoir Un= 1 ( dénominateur nul) ?

[MarocHein]

Comment ça ? Si Un=0 alors le dénominateur est aussi égale à 0 vu que f(0)=0 mais sinon je suis d'accord on ne peut avoir Un=1 .

[pascal16]

la démo est pas identique pour ]0;1/2[ ?

[MarocHein]

Je dirais que si, mais le fait d'exclure le 0 n'est pas problématique ?

[MarocHein]

Personne ? je bloque vraiment je n'arrive pas à voir comment prouver que (Un) est croissante...

[pascal16]

étudier le signe de Un+1-Un, c'est étudier la signe de f(x)-x

f(x)=1,8x(1-x)
f(x)-x=1,8x(1-x)-x=x(1.8-1.8x-1) = x(0.8-1.8x)

est positif pour 0 ≤ x ≤ 0.1.8
c'est pas 0.45 la bonne borne mais 0.44444444... donc ça marche pour 0.44 comme borne sup

tu as utilisé f(0.5), mais il n'est pas du bon coté de la borne, les conclusions sont différentes suivant la valeur de Uo.

en fait si Uo est dans]0 ; 0.44...] Un est croissante et sa limite est 0.44...
si Uo est dans [0.44 ; 1[Un est décroissante et sa limite est 0.44...
si Uo=0 ou 1, Un est stationnaire
j'ai pas vérifié, mais elle doit diverger sinon

[MarocHein]

Je suis d'accord et j'était aussi arrivé à la conclusion que Un devait être < 4/9, sauf que je prouve comment que Un appartient à [0;4/9]? ou alors que Un+1<4/9 ?

[pascal16]

de part le tableau de variation de f, f( [0;4/9]) inclus dans [0;4/9]

Un inclus dans [0;4/9] implique un+1 inclus dans [0;4/9]