Polynôme à plusieurs indéterminées nul sur partie infinie

[MoonX]

Bonjour,

Je cherche à démontrer de manière efficace le résultat suivant :

Soit (K un corps infini)
on suppose que P s'annule sur un produit de partie infinies de K noté . Montrer que P est identiquement nul.
J'ai fais une preuve par récurrence, en disant :
- OK pour le cas n=1
- Ensuite, un polynôme s'écrit comme un polynôme a une seule indéterminée X_{n+1} à coefficients dans K[X_1,...,X_n].
Pour tout x dans fixé, on écrit .
C'est un polynôme à une variable nul sur une infinité de points donc chaque Q_k est nul à x fixé, ceci étant vrai pour tout x on conclut par hypothèse de récurrence.
Premièrement : ma démo (un peu elliptique sur la fin certes) est-elle juste ?

Deuxièmement : n'y a t il pas plus rapide ? en utilisant de l'analyse par exemple ? je cherche une démo la plus courte possible.

Je vous remercie par avance !

[tournesol]

OK pour ta démo mais attention :
à l'étape 1 , K est un corps mais à l'étape 2 , K[X] n'est plus un corps mais un anneau intègre .
La conclusion reste valide dans ce cas mais il faut modifier l'hypothèse de récurrence en y remplaçant "corps" par "anneau intègre"
Quand à l'utilisation de l'analyse , je réponds négativement en général car K n'est pas à priori un sous corps de .