Majoration d'intégrale

[BenoîtL-21]

Bonjour à tous,
Voici un problème sur lequel je sèche depuis une semaine.
Soit a<0<b, et soit f continue définie sur [0 ; 1] à valeurs dans [a ; b] telle que l'intégrale de 0 à 1 de f(t) dt vaut 0.
Montrer que l'intégrale de 0 à 1 de f(t)² est inférieure à -ab.
Des idées ?
Merci d'avance.

[aviateur]

Bonjour
Pour une raison de rédac je remplace à par -a. (a>0,b>0 et f est à valeurs dans [-a,b]).
On pose et Ces 2 fonctions vérifient :

Donc
On a aussi et
On désigne par la mesure du support de et alors la mesure du support de est majoré par
On a alors et

Donc on reprend les calculs :


(comprendre que je viens d'utiliser l'hypothèse qui se
traduit par ) C.Q.F. D

[BenoîtL-21]

Limpide !! Merci beaucoup Aviateur.

[aviateur]

Bonjour
J'ai tout de même une remarque. A quoi sert l'hypothèse de continuité?
L'intégrabilité suffit. Mais peut être que l'auteur la question a une autre solution en tête qui lui demande cette
hypothèse en plus.

[lionel52]

Sinon



Ensuite tu intègres l'inégalité de 0 à 1

[tournesol]

Très belle démonstration . Minimale à souhait .