Une limite de suite
Olympiades mathématiques, énigmes et défis
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aviateur
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par aviateur » 07 Avr 2019, 18:20
Bonjour
voici un exercice pas très standard (à mon avis) que je pose donc en énigme.
On considère la suite
définie par
Déterminer le comportement à l'infini de
(limite ou équivalent)
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pascal16
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par pascal16 » 07 Avr 2019, 21:06
comme il n'y a que cos² qui fait intervenir n et qu'il n'y a pas de singularité au dénominateur , on peut pas simplement remplacer le cos²(nx) par sa valeur moyenne ?
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aviateur
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par aviateur » 07 Avr 2019, 23:06
pascal16 a écrit:comme il n'y a que cos² qui fait intervenir n et qu'il n'y a pas de singularité au dénominateur , on peut pas simplement remplacer le cos²(nx) par sa valeur moyenne ?
Bonjour
Je ne pense pas. en tout cas ça donne pas la bonne réponse.
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Lostounet
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par Lostounet » 08 Avr 2019, 02:58
Elle est marrante cette intégrale.
Elle me semble converger vers racine(2).
Si on lui soustrait l'intégrale de sin(x)/2 on se retrouve avec plein de petites bosses dont il faut quantifier l'aire: par exemple si n=5 on constate des pics symétriques centrés en x=pi/12 (par exemple).
À voir comment quantifier cela, on pourrait même penser à une transformée de Fourier pour se ramener à des fonctions triangle.
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aviateur
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par aviateur » 08 Avr 2019, 09:49
Bonjour
Ok lostounet La réponse c'est racine(2). Pour une indication de solution je préfère ne rien dire. Il semblerait qu'il y a plusieurs façons alors il vaut mieux laisser développer les idées.
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Skullkid
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par Skullkid » 08 Avr 2019, 19:53
Bonjour, intuitivement l'idée de pascal16 doit marcher : en posant
et
, on a
où les crochets désignent la moyenne sur [0,pi]. Comme
oscille de plus en plus quand n grandit, on a envie de dire qu'à la limite,
et
deviennent "indépendantes", de sorte que
.
Plus formellement, (suite en blanc pour ceux qui veulent chercher)
j'ai une démo qui consiste à couper l'intervalle d'intégration en n petits intervalles sur chacun desquels on peut encadrer le sinus du numérateur. On tombe au final sur un encadrement de I_n par deux sommes de Riemann qui ont la même limite. Ça se ramène à l'idée informelle ci-dessus en considérant que chaque petit intervalle correspond à une oscillation de g_n alors que f reste à peu près constante, mais il y a peut-être une démo qui exploite cette idée de manière plus explicite.
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aviateur
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par aviateur » 08 Avr 2019, 20:21
Bonjour
@skullid cela semble possible qu'il y a une solution qui passe par là.
Alors il faut justifier que
1.
2. Montrer que
Bon après avoir réfléchi ça se démontre bien. ça fait 2 démos.
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aviateur
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par aviateur » 09 Avr 2019, 11:11
Bonjour
Pour faire avancer un peu le problème je donne quelques indications:
Méthode 1 : (méthode qui n'utilise que des moyens élémentaires)
On fait d'abord le changement de variable
et on se ramène à écrire
sous la forme d'une somme d'intégrale de 0 à
.....
Méthode 2: (méthode qui consiste à établir le résultat énoncé par @skullid)
Montrer d'abord que pour tout
la suite définie par
converge et déterminer sa limite.
Méthode 3 . (idée de @lostounet) Passer par les séries de Fourier. (ça marche aussi, j'ai fait les calculs).
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Lostounet
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par Lostounet » 10 Avr 2019, 14:59
[quote="aviateur"]
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