Exercice dans l'arithmétique dans Z

[zaira]

Bonsoir à tous
est ce que vous pouvez m'aider? je suis bloquée .
l'exercice :
soient x et y deux entiers naturels tel que x>y et x²+y²=601 et PPCM ( x;y)=120
trouver x et y
et MERCI

[aviateur]

Bonjour
601 est un nombre premier. Donc pgcd(x,y)=1. En effet si d divise x et y, il divise et donc Mais d=601 n'est pas possible. -->d=1.
Alors ppcm(x,y)=xy=120.
D'autre part on x et y ne peuvent pas avoir la même parité (sinon x^2+y^2 serait pair) donc le
nombre pair et multiple de 4
Il reste peu de possibilités pour les 2 nombres
(8, 15 ) , (24, 5) , (40,3 ) (120,3).
....facile à finir

[zaira]

tu m'as dit que x et y n'ont pas la même parité car 601 est un nombre impair n'est ce pas ??
alors l'ensemble de solutions sera (120;1) / (40;3) / (24;5) / (15;8)??
et merci

[zaira]

D'abord merci beaucoup pour la réponse

[aviateur]

Attention j'ai raisonne par analyse, il faut faire la synthèse

[zaira]

oui j'ai compris merci beaucoup

[aymanemaysae]

Bonjour;

Soit d = pgcd(x;y) , donc il existe X et Y des nombres entiers naturels tels que x = d X et y = d Y .

d divise aussi x² + y² ; donc d divise 601 .

Comme 601 est un nombre premier , alors d appartient à {1 ; 601} .

Si d = 601 , alors : x² + y² = d²(X² + Y²) = 601²(X² + Y²) = 601 ; donc 601(X² + Y²) = 1 ;
donc X² + Y² = 1/601 qui n'est pas un nombre entier naturel , ce qui est absurde , donc d = 1 ,
donc ppcm(x;y) = xy = 120 , donc : y = 120/x , donc : x² + (120/x)² = 601 ,
donc : x² + 120²/x² = 601 , donc : (x²)² + 120² = 601x² , donc : (x²)² - 601x² + 120² = 0 ;
donc : Delta = 601² - 4 * 120² = 303601 = 551² ;
donc : (x1)² = (601 - 551)/2 = 25 et (x2)² = (601 + 551)/2 = 576 ;
donc : x1 = 5 et x2 = 24 ;
donc l'ensemble des solutions est : {(5;120/5=24) ; (24 ; 120/24 = 5)} .

Conclusion : L'ensemble des solutions est : {(5 ; 24) , (24 ; 5)} .