PGCD et récurrence

[bgirlfunky]

:we: Bonsoir !
J'ai un exercice en spé maths sur les PGCD et sur des suites définies par récurrence.
1)calculer PGCD de 4^5-1 et 4^6 -1. J'ai trouvé 3.
Soit u la suite numérique définie par U0=0, U1=1 et pour tout entier naturel n , Un+2=5Un+1- 4Un
2)Calculer les termes U2, U3, et U4 de la suite u.
J'ai trouvé U2=5 U3=21 et U4=85.
3)a)Montrer par récurrence que pour tout n de N, Un+1=(4Un) +1. J'y suis arrivée aussi.
b)Montrer par récurrence que pour tout n de N, Un est un entier naturel.J'ai eu plus de mal pour cette question. j'ai bien montré que P(0) est vraie.hypothèse de récurrence : Up appartient à N, on montre que Up+1 appartient à N. J'ai dit que Up+1=(4Up) +1 or d'après HR, Up appartient à N donc 4Un +1 appartient à N, donc Up+1 appartient à N.Est ce juste ?
c) En déduire pour tout entier naturel n, le PGCD de Un et Un+1. j'ai mis que ce sont deux entiers naturels qui se suivent donc ils sont premiers entre eux donc leur PGCD est 1.C'est bon?
4) Soit v la suite définie pour tout entier natureln, Vn= Un+ 1/3.
a)montrer que v est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.(indication : exprimer Vn+1 en fonction de Vn) vous pouvez m'aider pour cette question svp?
b) Exprimer Vn puis Un en fonction de n.je n'y arrive pas non plus. :help:

Merci d'avance

[colo]

Jusqu'au c), cela semble être bon, mais à laquestion c), tu ne peux pas dire que Un et Un+1 sont 2 entiers consécutifs. Tu as mis toi-même que U2=5 et U3=21 . 5 et 21 ne sont pas consécutifs.
Tu dois utiliser le théorème de Bezout :
Un+1=4Un +1 d'ou
1Un+1-4Un=1
Il existe deux entiers relatifs a=1 et b=-4 tel que aUn+1+bUn=1 donc Un+1 et Un sont premiers entre eux et le pgcd est égal à 1.

4)a) Vn+1=Un+1 +1/3
=4Un +1+1/3
=4Un +4/3
=4(Un +1/3)
=4Vn
d'ou Vn suite géométrique de raison 4 et de premier terme V0=U0 +1/3=1/3

b)Vn=V0 4^n
=(1/3)4^n

Vn=Un +1/3
d'ou Un=Vn -1/3=(1/3)4^n -1/3= (1/3)(4^n -1)

[bgirlfunky]

merci beaucoup de ton aide, je comprends mieux !