Une suite de points

[Budin]

Bonjour,
Voici une question avec plein de parallélogrammes, sur laquelle je sèche.
P1, P2 et P3 étant trois points non alignés dans un plan, on défini P4 comme symétrique de P1 par rapport à P3 et P5 sym de P2 pr à P3 aussi.
Pour tout n, P2n est sym de P(n-1) pr à P(n+1) et P(2n+1) sym de P(n) pr à P(n+1).
Cette suite comporte-t-elle une infinité de points ?

L'idéal serait de trouver une sous-suite dont la distance à P1 n'est pas bornée, mais je n'en ai pas trouvé. On peut mettre la question dans un repère, avec P1 = (0, 0), P1 = (1, 0) et P2 = (0, 1) et traduire en coordonnées la relation de récurrence. Peut-être faut-il mettre cette relation sous forme matricielle et calculer une puissance n de la matrice ? Mais dans ce cas je me suis trompé de niveau. Cela semble n'utiliser que des choses élémentaires (niveau collège)... Je suis perplexe.