Lemme de Zorn

[VieuxCrouton]

Bonjour

Je cherche à comprendre le lemme de Zorn et j'avoue que j'ai un peu de mal. Même beaucoup .
Avez-vous lu ce document ? Et qu'en pensez-vous ?

Merci
Pierre

[pascal16]

J'ai un peu de mal à piger moi aussi.

soit X= N
soit Ci, i €N = les nombres de N plus petit que i

Chaque Ci a un majorant
N n'est pas majoré.

le lemme semble pourtant pouvoir s'appliquer où est mon erreur ?

[VieuxCrouton]

Bonjour Pascal, moi c'est Pierre

Je reformule ta question pour être sûr que je la comprend : Dans N toute chaîne définie par Ci = { n € N | n < i } est majorée, donc le lemme de Zorn devrait s'appliquer. Pourtant il ne s'applique pas puisque N n'est pas majoré.

En fait il ne s'applique pas car la propriété que tu donnes ne suffit pas à prouver pas que N est un ensemble inductif. Un ensemble est inductif si toute partie totalement ordonnée est majorée. Or on peut exhiber beaucoup de parties de N totalement ordonnées qui ne sont pas majorées : l'ensemble des nombres pairs (en ordre croissant), l'ensemble des nombres premiers, N lui-même .... En fait toute suite strictement croissante, c'est à dire toute bijection croissante de N sur N.

L'exemple que tu donnes fonctionne car tu n'as pris que des parties finies de N. Mais il y a aussi toutes les parties infinies, dans lesquelles un élément peut être arbitrairement grand.