équation différentielle à coefficients non constants

[guillaume100]

Bonsoir à tous,

Quelqu'un sait-il comment résoudre :

?
avec strictement positif
J'ai testé avec des séries entières et j'obtiens la relation de récurrence :



et là je vois pas à quelle fonction cela correspond

[LB2]

Bonsoir,

ce n'est pas une fonction "usuelle" mais une fonction spéciale

https://math.stackexchange.com/question ... ion-yx2y-0

La relation que tu as obtenu permet de calculer (au moins numériquement) les a_n

On peut exprimer les solutions en utilisant les "parabolic cylinder functions" :
https://en.wikipedia.org/wiki/Parabolic ... r_function

C'est un peu comme les fonctions de Bessel ou les fonctions d'Airy

[guillaume100]

Ok, merci beaucoup LB2 !

[LB2]

Par curiosité, c'était un exo de maths ou un problème de physique qui faisait intervenir cette équation ?

[guillaume100]

Bonsoir!

C’est un exo de physique, où en physique quantique une particule est plongée dans un potentiel harmonique de , pour trouver l’energie minimale j’ai cherché à résoudre l’equation De Shrödinger https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Équation_de_Schrödinger ; mais en fait y’avait pas besoin de la résoudre pour ça

Cependant en physique la on a vu que la fonction qui à x associe :

est solution de :



et ça a pas l’air évident pour le montrer haha

[mathelot]

...

[LB2]

Je pense que c'est un peu n'importe quoi ce que tu as fait.

L'équation de Schrödinger 1D est traitée dans de nombreux ouvrages de Méca Q

Comme en particulier ici : http://perso.ensta-paristech.fr/~perez/ ... rr_PC2.pdf

[Yezu]

Salut,

Le potentiel harmonique est toutefois plus compliqué que le potentiel carré.

Quand j'ai résolu le potentiel harmonique dans mon cours de quantique, nous avions bien résolé l'équation de Schrödinger (états stationnaires) pour trouver les niveaux d'énergie. On peut d'abord adimensionner l'équation en posant et poser (juste pour faciliter l'équation finale après un peu comme avec le facteur d'amortissement pour l'oscillateur amorti ..).
La méthode "physique" que je connais consiste à regarder le comportement de l'équation différentielle pour x très très grand et à interpoler la solution à l'infini à la solution pour x quelconque avec une fonction inconnu.
Tu trouveras une nouvelle équation diff pour la fonction inconnu : l'équation d'Hermite. Et finalement tu pourras prouver que ta solution générale initiale tend vers 0 à l'infini (la fonction inconnue * la solution à l'infini) si et seulement si p est naturel et donc l'énergie est quantifiée. Tu pourras en déduire trivialement l'énergie minimale.

[guillaume100]

Bonsoir et merci pour vos réponses !

LB2: oui j'ai fait n'importe quoi je vais faire les exos que tu m'as envoyé

Yezu: Je vais faire ta méthode et je vais voir ce que je trouve pour l'équation d'Hermite

Sinon, on a retrouvé l'énergie minimale en utilisant l'inégalité spatiale de Heisenberg, en assimilant l'énergie minimale à sa valeur moyenne