Resolution trinome avec calculs simples

[polocmoi81]

Bonjour à tous,

Il y a longtemps que j'ai fini mes etudes et autant dire que je suis devenu mauvais en math...

J'ai besoin d'aide pour ceci:
J'ai 2 tableaux de données [x1, ...xn] et [y1...yn]. Je dois trouver le coefficient directeur de la courbe du troisième degrees et calculer les coefficients a, b, c et d uniquement avec des calculs simples ( addition, soustraction, division, multiplication) car le calcul doit être fait par un automate industriel.

J'ai trouvé beaucoup de choses en ligne mais chaque fois je coince pour comprendre.
Existe t'il une marche à suivre du genre : Tu fais la somme de tous les 'x' tu divises par ... ?

Merci d'avance
Paul

[Black Jack]

Salut,

"le coefficient directeur de la courbe du troisième degré" ne veut rien dire.

La notion de "coefficient directeur" est utilisée uniquement pour des équations de droites.

[polocmoi81]

Ah, mince.
Je dois trouver l'équation de type ax^3 + bx² + cx + d de la courbe. C'est mieux?

[Black Jack]

Salut,

Cela se résume à la résolution d'un système de 4 équations à 4 inconnues (a, b , c et d)

Les équations sont du type :

avec k = 4 entiers quelconques disponibles dans les tableaux.

Une possibilité (parmi plein d'autres) pour résoudre ces systèmes est d'utiliser la règle de Cramer qu'on peut probablement "informatiser" sans trop de difficultés.

Quelques mots sur cette règle, sur ce lien : https://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_Cramer

[polocmoi81]

Merci beaucoup pour la réponse.

Mais comment depuis un tableaux de coordonnées (X, Y) j'en arrive à cette équation?
Je peux faire des operations sur mes coordonnées, (les additionner, trouver la moyenne, etc) mais pas de calculs matrices.

Désolé. je suis dans la programmation de machines industrielle et pas une lumière en mathématiques...

[aviateur]

Bonjour
J'ai tout à fait l'impression que l'énoncé est très mal posé.
Avant de chercher à répondre à une question, il faut au minimum qu'elle soit bien posée. A mon avis la question serait bien ceci.
On a un nuage de points et on cherche un polynôme
p de degré 3 au plus "qui passe" par ces points i.e

Rien n'est dit sur n. On peut supposer que n vaut au moins 4.
Si on a un simple système à résoudre qui a toutes les chances d'avoir une solution unique.
Si on a un système surdéterminé et alors on cherche p, la solution au sens des moindre carrés, i.e le polynôme qui minimise

[polocmoi81]

Merci pour la réponse, et encore une fois désolé pour l’énoncé.

En fait, je veux avoir l'expression du polynôme en connaissant les coordonnées de certains points, comme sur l'image.
Avec des opérations simples et à partir d'un tableau d'environ 10 coordonnées [X; Y] je dois arrivé à ce résultat.
https://www.casimages.com/i/190323111832202289.png.html

[aviateur]

Bonjour
C'est bien que je pensais. Alors il faut appliquer la méthode des moindres carrés.
Tu poses

L' inconnue est le vecteur
On écrit les n (n>4) équations linéaires



Sous forme matricielle cela donne
,
et A une matrice n lignes 4 colonnes.

Bien sûr il n'y a pas de solution (en général).

On démontre que la solutions au sens des moindres carrés est la solution du système



En résumé il faut A, Y, calculer et et résoudre
le système


Si tu veux tu peux donner les (x_i,y_i)

[polocmoi81]

Merci beaucoup, mais ça reste compliqué pour moi.
J'ai pu trouver pour une fonction ax + b grace à cette video : https://www.youtube.com/watch?v=wEf7iy49PMQ

La méthode est-elle presque la même pour une fonction : ax^3 + bx² + cx + d ?

Merci

[tournesol]

Tu dois résoudre ce système pour obtenir les coefficients de la méthode des moindres carrés .

[Lostounet]

Merci beaucoup, mais ça reste compliqué pour moi.
J'ai pu trouver pour une fonction ax + b grace à cette video : https://www.youtube.com/watch?v=wEf7iy49PMQ

La méthode est-elle presque la même pour une fonction : ax^3 + bx² + cx + d ?

Merci

C'est l'idée: je te l'explique pour une fonction f(x)=ax+b

Si je te donne deux points alors tu es sûr de pouvoir trouver une droite qui passe par ces deux points.

Par contre imagine que je te donne 3 ou 4 points : si ces points ne sont pas alignés tu ne pourras jamais trouver une droite qui passer par tous les points. Au mieux tu peux trouver une droite qui 'passe au plus près' des 4 points. Par exemple, en regardant quelle droite est telle que la somme des distances aux points est la plus petite.

C'est exactement pareil ici... Il faut bien comprendre qu'il est peu probable que tu puisses trouver une courbe ax^3+bx^2+cx+d qui passe par tous les points. Mais tu peux en trouver une qui s'approche beaucoup des points: c'est la méthode des moindres carrés.

[polocmoi81]

Merci à tous.
Oui je comprends que je ne pourrais pas joindre tous les points, mais dans mon application la précision sera meilleure qu'une fonction ax + b.

Je dois chercher comment résoudre ce système d'équation à quatre inconnus c'est ça ?

[tournesol]

Il ne te reste plus qu'à résoudre ce système . La façon de le faire dépend de ton environnement logiciel .

[polocmoi81]

Existe-t-il une méthode de calcul avec uniquement des soustraction, addition, multiplication, division, racine qui sera toujours la même pour résoudre ce système ?

[aviateur]

Bon, il faut comprendre un peu les maths: le calcul du polynôme de degré 3 qui "passe au mieux" par tes n points (n>4) (c'est à dire "passe au mieux" comme je l'ai défini dans le premier post, méthode des moindres carrés) et bien, depuis belle lurette il a été démontré que les coefficients
sont solutions du système où A et Y sont comme j'ai défini dans mon premier post.
(je ne ferai pas la démo qui tient en 3,4 lignes mais on peut quand on reprend les maths admettre certains résultats au début)
Alors il faut écrire le système. Puis le résoudre.
Quelque soit la façon dont on te présentera la méthode (algébrique comme je l'ai fait ou analytique) et bien qu'on fasse ce que l'on veut on va arriver au même système linéaire, qui se résout avec des +,-,x,:.

[tournesol]

Désolé aviateur d'avoir pertubé ton premier message qui donne qui donne la méthode la plus concise des que l'on dispose d'une librairie de calcul matriciel et d'un solveur linéaire .

[aviateur]

@tournesol, Je ne vois pas en quoi tu as perturbé mon message. De toute façon je crois que tu es un peu nouveau ici (mois ça fait plus d'un an). Et en général les messages se complètent et c'est toujours intéressant d'avoir des visions différentes.

En fait j'ai pas vérifié mais tu donnes bien le système?
Maintenant j'aurai bien aimé avoir la liste des (x_n,y_n). En effet on pourrait calculer sur l'exemple p. Pour comparer avec le polynôme donné par "excel" car j'aimerai vérifier leur résultat.

Pour la démo celui qui ne la connait, voici.
On pose p(x)=a+bx +cx^2+ d x^3, i.e on cherche
On souhaite

i.e
C'est un système linéaire de n équations à 4 inconnues (n>4). En général il n'y a pas de solution.
Ce système s'écrit matriciellement
AX=Y où
et
On va chercher p tel que soit le plus petit possible.
Le minimum est atteint pour )

Deux approches sont possibles, l'approche analytique
ou alors on a
Donc (écriture colonne) :
i.e
C'est donc très simple la solution du système AX=Y au sens des moindres carrées et la solution du système qu'on obtient en multipliant chaque membre

[tournesol]

Je donne directement et alors que n'importe quelle calculette peut calculer ces matrices à partir de saisies plus simples .

[polocmoi81]

Merci pour vos réponses. J'ai pu solver le système d'equations sans calculs matriciels.
Je poste le code si ça peut aider quelqu'un.

Code: Tout sélectionner

FOR i := 0 TO 3 BY 1 DO
   MaxEl   := ABS(A[i,i]);
   MaxRaw   := i;
   
   FOR k := i+1 TO 3 BY 1 DO   // Search for maximum in this column
      
      IF ABS(A[k,i]) > MaxEl THEN
         
         MaxEl   := ABS(A[k,i]);
         MaxRaw   := k;
      END_IF
   END_FOR

   
   FOR k := i TO 4 BY 1 DO   // Swap maximum row with current row (column by column)
      
      Temp         := A[MaxRaw, k];
      A[MaxRaw, k]   := A[i,k];
      A[i,k]         := Temp;
      
   END_FOR
   
   
   FOR k := i+1 TO 3 BY 1 DO   // Make all rows below this one 0 in current column

      IF A[i,i]<>0 THEN C := -A[k,i]/A[i,i]; END_IF;

         FOR j := i TO 4 BY 1 DO
            
            IF i = j THEN
               
               A[k,j]   := 0;
            ELSE
               A[k,j]   := A[k,j] + (C*A[i,j]);
            
            END_IF
         END_FOR
   END_FOR
END_FOR

FOR i:= 3 TO 0 BY -1 DO   // Solve equation Ax=b for an upper triangular matrix A
   
   IF A[i,i] <> 0 THEN x[i] := A[i,4] / A[i,i]; END_IF
   
   FOR k := i-1 TO 0 BY -1 DO
      
      A[k,4] := A[k,4] - (A[k,i] * x[i]);
   END_FOR
END_FOR


[aviateur]

Bonjour
Ton solveur ressemble à une boîte noire.

Néanmoins on peut le tester. Par exemple
si je donne la liste de points

Tu peux nous donner le polynôme de degré 3 qu'on obtient avec?