Polynôme

[MaxP06]

Bonsoir, je rencontre des difficultés avec le problème suivant :

Déterminer les polynômes P tels que

et

J'ai essayé une première approche en essayant de trouver une relation avec les coefficients de P mais ça n'a rien donné. Puis j'ai essayé une autre approche en écrivant que :


Avec Q et R des polynômes

J'ai travaillé ces expressions en les dérivant et regarder les valeurs en 1 et -1 mais je n'aboutis à rien de concret...

[aviateur]

Bonjour
C'est l'ensemble des polynômes P de la forme
où est un polynôme quelconque.

[LB2]

Tu peux dériver tes relations et en déduire une condition nécessaire sur P'(X)

[tournesol]

Malgré les apparences , il s'agit essentiellement d'un problème linéaire :
divise et divise ssi
1 est racine double de et - 1 est racine double de ssi
1 est racine de et 1 est racine de
et
- 1 est racine de et 1 est racine de ssi

et et et

Soit f l'application de K[X] dans définie par
Il est facile de montrer que f est linéaire .
Donc l'ensemble cherché est l'ensemble des solutions de l'équation linéaire
Cet ensemble est donc de sructure connue : solution particulière + Ker(f)
Il te suffit de déterminer une solution particulière de degré 3 avec un solveur , Ker(f) étant évident .

[MaxP06]

Bonjour et merci à tous,
je n'ai pas encore vu les applications linéaires (c'est le chapitre que l'on attaque la semaine prochaine !) donc j'aimerais m'en sortir sans, j'ai donc suis vos conseils LB2 en dérivant mes expressions et en utilisant le fait que l'on peut procéder par identification avec la base (1, X, X²) et j'ai trouvé que Q'=R' et Q=-R ce qui me paraît louche car je n'aboutis pas à l'expression proposée par Aviateur.

[aviateur]

Bonjour
Evidemment c'est un problème simple d'algèbre linéaire. Mais si tu ne l'a pas vu, tu peux faire la résolution uniquement à partir de la connaissance des polynômes en suivant une bonne logique :
Soit P et Q deux solutions:
divise donc P-1 et Q-1 donc divise la différence P-Q.
De même on montre que divise P-Q.
Autrement dit divise P-Q
ou ce qui revient au même
où R est un polynôme quelconque.

Il reste à chercher une solution. Pour cela on va chercher un polynôme de degré3 .
Des petit calculs vont donner celui que j'ai donné dans mon premier post.

d'où l'ensemble des solutions

[tournesol]

Merci aviateur . Et en plus la solution que tu proposes est plus simple .

[aviateur]

@tournesol:
En fait j'avais fais comme tu as expliqué. i.e passer par P: R[X]--> (P(-1),P'(-1),P(1),P'(1)).
Mais bon avec moins de moyen on peut toujours s'en sortir aussi bien.
Ceci étant, dit vu qu'il va commencer à voir les applications linéaires c'est important qu'il voit qu'on a simplement une équation linéaire du type f(x)=y et que l'ensemble des solutions, s'il est non vide c'est ou est une solution particulière.

[MaxP06]

Merci aviateur j'ai pu trouvé la solution en suivant vos conseils, j'essaierai en appliquant l'autre méthode quand j'aurai avancé dans le cours sur les applications linéaires.