Dans quelle direction f varie t’elle le plus vite ?

[Anaisdeistres]

Bonjour,

Je suis en L2 Mathématiques à distance.

EXERCICE 3 :
La température T en un point (x, y, z) est définie par :
T(x,y,z) = e−x2−5y2−9z2
où T est mesurée en degrés Celsius et x, y, z en mètres.
1. Déterminer le taux de variation de la température au point P (2, −1, 2) dans la direction du point Q(1, −1, 1).
2. Dans quelle direction la température augmente t’elle le plus au départ du point P ?
3. Calculer ce taux maximum d’accroissement en P.

1. On détermine le taux de variation de la température :

On pose :



On a :








Le taux de variation de la température est .

2. On détermine la direction la température qui augmente le plus au départ de P :

[...] svp

[aviateur]

Bonjour
Cet exo ressemble à une vaste blague physiquement parlant. En effet P est assez loin de (0,0,0) de sorte que la température est quasiment constante=0 autour de P. Alors parler de variations de températures c'est un peu gros.
Bref mathématiquement on peut toujours le faire:
Pour la question 2, on peut passer en coordonnées sphériques pour la direction que l'on va prendre à partir de P.
Le problème revient avec l'aide d'un petit calcul à déterminer les points critiques d'une fonction de sur le compact

[Anaisdeistres]

La valeur maximale de la dérivée dans une direction est donc (tiré de mon cours)



Et en coordonnées cartésienne on a :



Et



???

[aviateur]

La valeur maximale de la dérivée dans une direction est donc (tiré de mon cours) :?:



Et en coordonnées cartésienne on a :



Et je calcule .... ?

A mon avis il faut mieux chercher à comprendre que de balancer des trucs dont je ne vois pas l'origine. D'ailleurs je ne comprends pas du tout, mais pas du tout, pourquoi tu sais faire la question 1 alors que la question 2 est en quelque sorte une suite logique.

A partir de P si on se déplace dans une direction H.
On a
Donc on cherche H tel que soit maximum. On a donc une fonction à deux variables qu'il faut maximiser. C'est aussi simple que cela.

[Anaisdeistres]

Oui je vais faire des recherches sur internet

[Yezu]

Salut,

Je ne comprends pas vraiment comment tu sembles connaître ton cours mais que tu ne sois pas capable de répondre aux questions.

Dans tout bon cours d'introduction à l'analyse avec plusieurs variables; tu as dû apprendre que le taux de variation d'une fonction différentiable en un point dans une certaine direction de vecteur UNITAIRE pouvait s'exprimer comme :

Dans ce cas, tu as donc où est l'angle entre le gradient et u.
Il est alors trivial de voir que la direction qui rend le taux d'accroissement maximal est celle du gradient () et la valeur de ce taux est .

[aviateur]

Oui je vais faire des recherches sur internet

Je ne vois pas ce que tu vas rechercher sur internet. Il faut chercher à comprendre
la formule que je t'ai écrite qui vient de la différentiabilité de f :

[Anaisdeistres]

Oui sebon merci