Problème arithmetique

[cedric125]

bonjour besoin d'aide sur cet éxo
on se propose de montrer qu'il n'existe pas huit nombres premier au plus égale à 1480 et formant une suite arithmétique : a,a+b,a+2b,.....,a+7b; pour cela
a)montrer que que b est pair
b)montrer que b est divisible par 6
c)montrer que b est divisible par 5
d)monter que b est divisible par 7
e)montrer que b est au moins égale à 210 et conclure

[cedric125]

pour la premiere question je pense
Tout nombre premier est congru à 1 mod 2 (sauf 2)

Soit a un nombre premier
a+b est congru à 1+b mod 2
???

[aviateur]

Bonjour
Exemple:
cas 1 : b=1 (mod 3) alors 2 b =2 modulo 3
cas 2: b=2 (mod 3) alors 2 b =1 modulo 3

Si a=1 mod 3 avec cas 1 a+2b=0 mod 3 (imp) et cas 2 a+b= 0 (mod 3) imp.
faire de même avec a=2 mod 3.

Finalement on voit que b=0 mod 3

procéder de façon analogue dans chaque cas. (2,5 et et 7)

Evidemment envisager a=3.

[cedric125]

je vois pas ou est montrer que b est paire puisque votre conclusion est b=0 mod 3

[cedric125]

?ma demarche ne convien pas ? puisqu'on aura obligatoirement b est pair ?

[aviateur]

J'ai fait la question b) comme exemple; à toi de faire les questions a) c) d) (encore que a est immédiat.)

[aviateur]

?ma demarche ne convien pas ? puisqu'on aura obligatoirement b est pair ?

Je ne vois aucune démarche

[cedric125]

ahhh oui étourderie de ma part (a est deja donner comme nombre premier dans lenoncé donc a+b est impair signifie que b est forcement pair)
mais je n'ai pas bien compris votre demarche sur la question c)? pourquoi ces cas et pourquoi cette conclusion?

[cedric125]

Tout nombre premier est congru à 1 mod 2 (sauf 2)

Soit a un nombre premier
a+b est congru à 1+b mod 2
???

aviateur je parlais de celle la

[aviateur]

oui mais et la suite?

[cedric125]

Laissez tomber puisque la question a déjà été résolu(je pensais que vous parliez de la premiere question)
sinon pouvez vous m'expliquez votre demarche de la question b)?pourquoi avoir pris des cas et pourquoi cette conclusion?

[cedric125]

?

[cedric125]

alors j'ai eu a résonner comme ceci
Un nombre premier ne peut être congru qu'a 1 ou 5 mod 6
b etant pair, il est congru a 0, 2 ou 4 mod 6
Soit b congru à 2 mod 6
soit a un nombre premier alors a est congru à 1 mod 6 ou à 5 mod 6
Si a est congru à 1 mod 6, alors a+b est congru à 3 mod 6 d'où l'incohérence car a+b n'est pas premier, c'est un multiple de 3
si a est congru à 5 mod 6, alors a+2b est congru à 9 mod 6 donc a+2b n'est pas premier car multiple de 3
il en est de même si on prend b congru à 4 mod 6
donc forcément b est congru à 0 mod 6
mon problème est la question c maintenant puisque 5 etant impair alors tout peut être congru à 1,2,3,4 mod 5 mais b etant un nombre pair est congru à 1,2,3,4 mod 5 aussi

[cedric125]

je veux résoudre la question c) de la meme maniere que la question b) mais j'y arrive pas

[tournesol]

a n'est pas égal à 2 sinon a+2 divisible par 2 ne serait pas premier .
a n'est pas égal à 3 sinon a+3 divisible par 3 ne serait pas premier .
a n'est pas égal à 5 sinon a+5 divisible par 5 ne serait pas premier .
a n'est pas égal à 7 sinon a+7 divisible par 7 ne serait pas premier .
a est donc congru à 1 , 2 , 3 , ou 4 modulo 5.
SUPPOSONS b non divisible par 5 .
Alors b est congru à 1 , 2 , 3 , ou 4 modulo 5 .
Il est facile de calculer que 2b , 3b , et 4b vérifient cette propriété .
Il est facile de calculer que :
Si a est congru à 1 modulo 5 , alors l'un des nombres a+b , a+2b , a+3b , a+4b est congru à 0 modulo 5 , donc n'est pas premier .
Si a est congru à 2 modulo 5 , alors l'un des nombres a+b , a+2b , a+3b , a+4b est congru à 0 modulo 5 , donc n'est pas premier .
Si a est congru à 3 modulo 5 , alors l'un des nombres a+b , a+2b , a+3b , a+4b est congru à 0 modulo 5 , donc n'est pas premier .
Si a est congru à 4 modulo 5 , alors l'un des nombres a+b , a+2b , a+3b , a+4b est congru à 0 modulo 5 , donc n'est pas premier .
DONC b est divisible par 5 .

[tournesol]

Tu peux utiliser exactement le même raisonnement pour établir la divisibilité de b par 7 .

[cedric125]

merci j'ai pu faire le d) grace a vous
pour le e) j'ai raisonner comme suit:
si b est divisible par 5, 6, et 7, alors b est multiple du ppmc de 5,6,7
soit p le ppcm de 5,6,7
apres decomposition d=5*2*3*7=210
comment pourai je conclure alors?

[tournesol]

Quelle est la plus petite valeur de a ?
Quelle est la plus petite valeur de b ?
En déduire la plus petite valeur du plus grand terme de la suite .

[aviateur]

Bonjour
En résumé, lorsque j'ai montré comme exemple que et puisque c'est le même raisonnement pour b=2,5,7, c'est pas très joli de répéter la même chose à chaque fois d'autant plus que le nombre de cas augmente avec 5 et 7.
Il est préférable de donner la propriété commune sous-jacente et de traiter tous les cas simultanément et de façon concise.


Soit (P) cette propriété qui est:
si p est un nombre premier et si alors n admet un inverse modulo p. En particulier cela implique
(P): si alors





On applique cela à p=2,3,5, et 7.
D'abord a n'est pas égal à 2,3,5 ou 7 (c'est évident) .

Pour chacune de ces valeurs de p, si
D'après (P) , on a , pour prend toute les (p-1) valeurs non nulles modulo (p).

Puisque a est premier et non égal à p alors . Il vient qu'il existe
un tel que Ce qui n'est pas possible.

D'où .

D'où j est divisible par 2 ,3, 5 et 7. Ce qui finit l'exercice.