Matrice stochastique

Discussion générale entre passionnés et amateurs de mathématiques sur des sujets mathématiques variés
Val
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Matrice stochastique

par Val » 17 Mar 2019, 21:47

Bonjour,
Dans le cadre d’un travail sur les chaînes de Markov il m’a été demandé de démontrer les propriétés des matrices stochastiques suivantes:

1) Considérons A et B deux matrices stochastiques. Le produit AB est également une matrice stochastique

2) La suite des vecteurs (vA, vA^2 ,..., vA^n) converge vers le vecteur fixe de A.

3) Le produit d’un vecteur de probabilité et d’une matrice stochastique est également un vecteur de probabilité

4) (à mettre en lien avec le pt 3) La suite des puissances de A( A, A^2,..., A^n) converge vers une matrice P dont les lignes sont le vecteur fixe de A


J’ai besoin de vos réponses le plus rapidement possible!!
Merci d’avance.



pascal16
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Re: Matrice stochastique

par pascal16 » 17 Mar 2019, 22:58


Val
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Re: Matrice stochastique

par Val » 17 Mar 2019, 23:20

Aucune démonstration ou preuve n’est faite sur le site Wikipedia.....

LB2
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Re: Matrice stochastique

par LB2 » 17 Mar 2019, 23:24


Val
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Re: Matrice stochastique

par Val » 17 Mar 2019, 23:43

Merci pour le lien mais il est beaucoup trop compliqué pour mon niveau...
J’ai un niveau de terminale S.

aviateur
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Re: Matrice stochastique

par aviateur » 18 Mar 2019, 11:42

Bonjour
Comme je n'y connais rien "du niveau de TS" alors avant de résoudre l'exercice (niveau TS) je me pose les questions suivantes:
1. Une matrice stochastique en TS c'est une matrice de quelle taille (2, 3 ou taille fine mais quelconque?).
2. Pour un élève de TS quelle est la définition de la convergence d'une suite de vecteur?
3. De même quel est la définition de la convergence d'une suite de matrice?

LB2
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Re: Matrice stochastique

par LB2 » 18 Mar 2019, 12:08

Val a écrit:Merci pour le lien mais il est beaucoup trop compliqué pour mon niveau...
J’ai un niveau de terminale S.


Bonjour,

le lien est du niveau de l'exercice...
Si tu veux :

- les réponses rapidement
- à un niveau terminale S
- sans te donner la peine de lire ou de comprendre quelque chose

c'est impossible désolé

pascal16
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Re: Matrice stochastique

par pascal16 » 18 Mar 2019, 20:00

-> si tu considères la matrice stochastique comme celle de passage de l'état probabiliste à l'instant n à celui de l'instant n+1, tu as :

3) Le produit d’un vecteur de probabilité et d’une matrice stochastique est également un vecteur de probabilité : c'est la définition de la matrice, démo par développement du produit

1) Considérons A et B deux matrices stochastiques. Le produit AB est également une matrice stochastique
car si X est un vecteur proba
(AB)X = A(BX) mais BX est vecteur proba Y, A(BX)=AY est donc un vecteur proba AB est donc bien une matrice qui transforme des états probabiliste, voir si c'est suffisant en fonction de ta déf de matrice stochastique.

2) La suite des vecteurs (vA, vA^2 ,..., vA^n) converge vers le vecteur fixe de A.
perso, je dirais que non, car il y a des cas de "cycles" où l'on a un truc du genre Pn=(1;0) et Pn+1=(0;1)
Ben pourra te faire la théorie là dessus.

aviateur
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Re: Matrice stochastique

par aviateur » 18 Mar 2019, 21:36

pascal16 a écrit:2) La suite des vecteurs (vA, vA^2 ,..., vA^n) converge vers le vecteur fixe de A.
perso, je dirais que non, car il y a des cas de "cycles" où l'on a un truc du genre Pn=(1;0) et Pn+1=(0;1)
Ben pourra te faire la théorie là dessus.

Bonjour
Autant donné un exemple simple:

Alors si
Cela implique que la suite ne converge pas sauf si v est le vecteur fixe.

Val
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Re: Matrice stochastique

par Val » 19 Mar 2019, 13:59

pascal16 a écrit:-> si tu considères la matrice stochastique comme celle de passage de l'état probabiliste à l'instant n à celui de l'instant n+1, tu as :

3) Le produit d’un vecteur de probabilité et d’une matrice stochastique est également un vecteur de probabilité : c'est la définition de la matrice, démo par développement du produit

1) Considérons A et B deux matrices stochastiques. Le produit AB est également une matrice stochastique
car si X est un vecteur proba
(AB)X = A(BX) mais BX est vecteur proba Y, A(BX)=AY est donc un vecteur proba AB est donc bien une matrice qui transforme des états probabiliste, voir si c'est suffisant en fonction de ta déf de matrice stochastique.

2) La suite des vecteurs (vA, vA^2 ,..., vA^n) converge vers le vecteur fixe de A.
perso, je dirais que non, car il y a des cas de "cycles" où l'on a un truc du genre Pn=(1;0) et Pn+1=(0;1)
Ben pourra te faire la théorie là dessus.

Merci beaucoup très utile :)

 

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