Bonjour, je bute sur un problème depuis quelques temps et je ne parviens pas à avancer :
Soit et , on suppose que la famille est libre dans vu comme un Q espace vectoriel et on veut montrer qu'elle est libre dans vu comme un R espace vectoriel.
On défini l'application : où u(i) indique la i-ième coordonnée du vecteur u.
a) Montrer que la propriété "toute famille de Q-libre est libre au sens usuel" suffit pour obtenir le résultat voulu.
b) Soit une famille de qu'on suppose -libre et tels que , montrer que .
c) Montrer alors que la famille est libre au sens usuel est conclure.
Indication 1: utiliser le résultat précédent avec une famille de réels de la forme avec l bien choisi.
Indication 2 : le nombre de vecteurs à coordonnées entières vérifiant l'inégalité de la question b) est fini.
La question a) est très facile pourtant la b) et la c) m'en font baver. D'après mes enseignants cet exercice se traite en utilisant de l'arithmétique mais je ne vois pas où l'arithmétique peut apparaître.