Lien entre Q-liberté et liberté usuelle

[HardcoreLulu99]

Bonjour, je bute sur un problème depuis quelques temps et je ne parviens pas à avancer :
Soit et , on suppose que la famille est libre dans vu comme un Q espace vectoriel et on veut montrer qu'elle est libre dans vu comme un R espace vectoriel.
On défini l'application : où u(i) indique la i-ième coordonnée du vecteur u.
a) Montrer que la propriété "toute famille de Q-libre est libre au sens usuel" suffit pour obtenir le résultat voulu.

b) Soit une famille de qu'on suppose -libre et tels que , montrer que .

c) Montrer alors que la famille est libre au sens usuel est conclure.
Indication 1: utiliser le résultat précédent avec une famille de réels de la forme avec l bien choisi.
Indication 2 : le nombre de vecteurs à coordonnées entières vérifiant l'inégalité de la question b) est fini.

La question a) est très facile pourtant la b) et la c) m'en font baver. D'après mes enseignants cet exercice se traite en utilisant de l'arithmétique mais je ne vois pas où l'arithmétique peut apparaître.

[tournesol]

La liberté ( et même le rang) d'une famille de vecteur ne dépend que du corps engendré par les coordonnees . Cette famille est libre ssi son déterminant dans la base canonique de est nul et ce déterminant est inchangé quel que soit le surcorps dans lequel on se place .Quand au rang , il est égal à l'ordre maximum d'une sous matrice inversible , et comme la matrice de la famille ne dépend pas du corps , le rang non plus .

[tournesol]

Je sais que je ne t'ai pas aidé mais j'ai voulu démistifier l'invariance du rang dans un surcorps .

[HardcoreLulu99]

Merci pour cette réponse, malheureusement je n'ai pas encore fait la théorie des surcorps, des ordres, des matrices inversibles et des déterminants.

Je ne comprends pas l'argument du déterminant, la famille possède un déterminant nul dans R^2 vu comme un Q-ev mais cette famille y est libre puisque racine de 2 est irrationnel.

[tournesol]

Ca ne fonctionne pas pour un souscorps mais seulement pou un surcorps .
Ta famille a un déterminant nul dans . Ta famille est donc de rang 1 dans , donc de rang 1 dans

[aviateur]

Bonjour
C'est tout de même étonnant "l'application || ||". En effet je n'ai jamais vu qu'on représente une forme linéaire avec le symbole d'une norme!