Opérateur non borné

[Bigorneau]

Bonjour à tous, voici une question qui me tracasse. Soit un opérateur linéaire défini pour . On veut montrer que n'est pas un opérateur borné sur pour . Après calcul j'obtiens une inégalité de la forme : .
Sauf qu'à partir de là je ne parviens pas à trouver une suite de fonction qui pourrait violer la continuité.

Toute proposition est la bienvenue

(je peux donner plus de contexte si nécessaire).

[aviateur]

Bonjour
L'écriture est perturbante :

c'est plutôt je pense.

Ensuite on devine que représente la mesure de Dirac mais
ça veut dire quoi?
C'est peut être une notation particulière donnée dans l'exercice mais il faut le préciser.
B_1(0) c'est bien la boule unité centré en 0?

De toute façon dans l'inégalité que tu dis avoir démontré, on ne voit pas ce que c'est x.

[Bigorneau]

Oui en effet on regarde comme une fonction de et on s'intéresse à la norme . Aussi est bien la boule.

Au sujet de la distribution de dirac, c'était juste pour l'écrire sous forme d'une distribution, c'est la distribution sur la surface . J'aurais dû l'écrire , mais j'avoue que je ne me suis pas servi de la distribution de dirac in fine. J'ai simplement dérivé et utilisé l'inégalité triangulaire.

[aviateur]

Ok, J'ai encore quelque questions:
t est fixé positif? Par exemple on pourrait commencer par démontrer avec t=1?
Et puis l'inégalité, admettons qu'elle soit vraie. Je ne vois pas pourquoi l'avoir démontrée, quel est le lien avec le fait que A_t ne serait pas bornée?

[Bigorneau]

Oui est fixé. Ben je pensais trouver une séquence de fonctions qui converge dans mais avec . Sinon, il faudrait alors juste violer la continuité.
Sans l'inégalité on trouve (à moins que je me sois trompé)

[aviateur]

Bonjour
Une idée peut être à exploiter:
Si tu considères une fonction paire à support compact. Par exemple [-1,1].
On considère alors la fonction radiale f(x)=
On définit alors les fonctions définies par où les sont choisis de sorte que
Il serait bien alors de regarder si les normes des fonctions explosent.
En particulier, je me demande si c'est le cas à cause du comportement au voisinage 0 des fonctions

[Bigorneau]

Merci pour les commentaires .
J'ai déjà regardé un peu ce type de fonctions à vrai dire. Par j'imagine que vous vouliez dire (3 dimension spatiale). On a

En dérivant :

Le fait que a support compact dans la boule unitaire, nous donne



Je ne sais pas trop quoi en conclure. Sinon peut-être en regardant les choses sans se plonger dans trop de calculs



D'où


Là encore je ne vois pas bien comment finir. D'autant que cela ne nous donne pas d'intuition sur la spécificité du cas .