Polynôme

[cedric125]

bonsoir est ce que je pourrai avoir de l'aide sur cet exercice ?
soit (n,p)∈(N*)². Montrez que est divisible par

[tournesol]

Tu as une arithmétique des polynômes ( division euclidienne ,primalité ,etc)
Il te suffit de montrer que Aest congru à 0 modulo B .
Or , A est congru à modulo B ...

[aviateur]

Bjr
Une autre solution assez directe est de voir que les racines de B sont racines de A

[tournesol]

Bonjour aviateur
Le plus direct est
donc est congru a 0 modulo B
donc A est congru a modulo B
etc

[aviateur]

Bonjour aviateur
Le plus direct est
donc est congru a 0 modulo B
donc A est congru a modulo B
etc

Bonjour
@tournesol évidemment ce que tu dis c'est direct! Il faut comprendre que ce terme que j'ai employé ("assez direct") signifie "assez immédiat, . Evidemment ce que tu as proposé , j'en ai bien conscience c'est aussi assez immédiat. Mais dire que c'est le plus direct c'est un peu trop à mon avis.
Regarder les racines, cala donne la solution de façon tout à fait visible:
Les racines de étant les n-1 racines n_ème de l'unité excepté 1. Quand tu remplaces dans A on voit tout de suite que ça fait zéro.

[cedric125]

bonjour tournesol
nous n'avons pas apprris la notion de "congrue" et "moldulo" en polynome donc si vous pouviez m'expliquez svp?:)
bonjour aviateur
montrer qu'ils ont les même racine ne serai pas montrer que les polynôme sont égaux? et sinon comment je devrai demontrer que les racine de B sont les racine de A(sachant que à mon avis ils sont pas égaux)?

[aviateur]

Bonjour
Une chose est sûre c'est que si tu utilises n'importe quelle méthode il faut voir que


Le racines de sont ce que l'on appelle lesracines n ièmes de l'unité, i.e
elles sont
Donc les racines de B sont les (sauf 1 n'est pas racine)

Maintenant

Donc pour tout k=1,...,n
on a

Les racines de B sont donc bien racines de A donc B divise A.

[cedric125]

j'ai pas compris la dernière partie
pourquoi le ? et vous voulez dire que quelque soit les racines n ièmes de l'unité prise et ou vous avez pris une valeur choisi?

[tournesol]

D'accord avec toi aviateur , ta méthode par les racines est la plus rapide . Il est indispensable de l'avoir présente à l'esprit lorsqu'on doit résoudre des pb de divisibilité de polynômes .
Même dans un corps qcq , on dispose des corps de rupture pour utiliser les racines .
Par contre la methode arithmétique explicitée :
et donc
On a donc
donne une réponse affirmative lorsque X represente un élément d'un anneau commutatif ou non , intègre ou pas .

[aviateur]

@tournesol tout à fait, mais je ne cherche pas à parler de rapidité de méthodes. D'ailleurs ça veut pas dire grand chose.
Simplement je montre qu'on peut aussi passer par les racines, c'est tout.

Pour répondre à @cedri125: on a 1-x^n=B(x)(1-x).
Les racines de étant les
et comme les n-1 racine de B sont les
Alors chaque vérifient B(x_k)=0 mais aussi

Ceci étant dit je me suis placé dans l'espace \C[X]. Et effectivement la démo de @tournesol a plus d'avantage du point de la généralité, donc ça serait bien aussi de la comprendre.

[tournesol]

@ aviateur
On peut passer par les racines de B car elles sont simples .
ne divise pas A= mais les racines de B sont des racines de A .

[cedric125]

aviateur
dans votre précedente reponse vous avrez mis

[aviateur]

aviateur
dans votre précedente reponse vous avrez mis

Bien sûr les racines de B sont simples et i lfaut le préciser.



Par définition les sont les racines de donc on a bien

Mais aussi , pour k=1,....,n-1. Bien sûr n'est pas racine de B.

Bon maintenant si les racines te pose problème ainsi que travailler modulo B tu peux faire un calcul explicite:
Pour simplifier je pose C=X,

L'identité B(X)(1-X)=1-X^n, s'écrit avec mes notations B(1-C)=1-D ce qui donne D=1+B(C-1).

On a donc


En développant, il vient
)

d'où
A est divisible par B et tu as le quotient

[cedric125]

Alors chaque vérifient B(x_k)=0 mais aussi

donc vous êtes trompé ici ?

[aviateur]

Evidemment c'est une erreur de frappe

Dans le message précédent je t'ai donné une autre solution (calcul en cherchant à mettre B en facteur dans A).

[cedric125]

merciii beaucoup