Serie numerique

[vcent1]

Bonjour,

Je rencontre de la difficulté sur l’exercice suivant :
Donner la nature de la serie de termes general Un = 1/(n*ln(n)).

Ma réponse :
Je pose : n^a * Un = n^(a-1) / ln(n)
Je sais que la serie converge ssi Un —> 0, donc ssi a<1.
Or d’apres le critère de Riemann la serie de termes general 1/(n^a) converge ssi a > 1.
Donc, par comparaison la serie de termes general Un diverge.

Est ce ma démarche fonctionne ?

Merci pour votre temps d’avance !

[aviateur]

Non ton raisonnement ne marche pas car la comparaison n'est pas dans le bon sens, i,e

[mathelot]

bonsoir,
pourquoi ne pas la comparer avec ?

[vcent1]

C’etait mon idée de départ, mais je ne savais comment montrer que l’integrale de x—>1/(xln(x)) était inférieur a la serie de termes general Un

[aviateur]

Rebonjour

La comparaison avec l'intégrale proposée ci-dessus te montre en posant f(x)=ln(ln(x)):

pour tout . (ou ce qui revient au même les accroissements finis)

On a donc (règle des dominos "ça se dit"?)
Ce qui montre que les somme partielles cv vers
La série est divergente

[vcent1]

Ah oui d’accord ! J’avais pas pensé à utiliser le th. des accroissements finis..
Merci beaucoup

Bonne soirée

[LB2]

C'est une série dite de Bertrand.

Le critère "grossier" de Riemann ne s'applique pas, le ln(n) passe à travers les mailles du filet de taille n^a...
Il faut donc reprendre le raisonnement utilisé (comparaison série intégrale) pour Riemann, mais avec la fonction proposée par aviateur et mathelot.

Le même raisonnement donnerait la nature de la série de terme général n^a ln(n)^b pour tous a et b réels.

[mathelot]

(règle des dominos "ça se dit"?)

on parle de somme télescopique ^^