Question sur les démonstrations mathématiques

[Yezu]

Salut à tous,

Une petite curiosité qui me survient après quelques cours de maths et quelques recherches sur le net.

J'ai l'impression que tout théorème mathématique peut toujours se démontrer de plusieurs façons différentes. Par exemple, je trouve que la démonstration constructive (même si je suis trop débutant pour maîtriser toutes les étapes) du théorème de Stone-Weierstrass en passant par les probabilités avec Bernstein est grandiose et révèle presque une mathématique descartienne ! Je ne suis pas chercheur en mathématique donc c'est très clairement une impression qui peut être complètement fausse !
Je me demande ainsi si vous aviez connaissance de certains théorèmes pour lesquels il y a unicité au niveau de la preuve, dans le sens où aucune autre preuve n'est connue à ce jour. Y a t-il un thème de la branche des logiciens qui traite de cette question et de la possibilité de 'multi-preuve' pour tout théorème ?

Merci pour vos réponses,

[Sylviel]

Je pense qu'il est très difficile de parler d'unicité de preuve : tu peux toujours démontrer un truc qui ne sers à rien, et quasisystématiquement utiliser des arguments qui ont eux-même plusieurs preuve.

Ce qui est potentiellement intéressant c'est de considérer un théorème A et un théorème B, et de savoir si on peut démontrer A "sans B" et B "sans A", donnant ainsi deux construction différentes de A et B.

[Yezu]

Merci beaucoup de ta réponse Sylviel.
Effectivement cette question ressemble un peu à la mienne tout en étant fondamentalement différente.

Sinon je me suis rappellé d'un théorème où on ne connait globalement qu'une preuve .. Fermat. Si je ne dis pas de conneries, une unique démonstration est connue à ce jour même si Fermet se vantait posséder une démo si élégante mais qu'il n'avait plus de place pour l'écrire dans ses cahiers.

[pascal16]

C'est normal de trouver que les maths tournent rond. Les résultats de géométrie euclidienne restent vrais pour de la géométrie vectorielle.

Une démonstration directe vaut 100 fois une démo par contraposée ou absurde car intrinsèquement, la négation pose des problèmes de cadre (soit n un non nombre entier n'a pas de sens).

On peut toujours chercher le cadre minimal pour qu'une démonstration tienne debout. Il arrive un moment où en enlevant quelque chose, on perd une partie du résultat. Déjà, juste en travaillant dans Q et les limites, il faut vraiment se gratter la tête pour savoir ce qui reste vrai (s'y intéresser, c'est mieux approcher les problèmes de l'infiniment petit en physique).

[Yezu]

Effectivement, il y a aussi la question de savoir ... laquelle est la plus 'élégante' et la plus 'directe'.
Je trouve franchement fascinant ce côté "on peut prouver un même théorème avec des outils qui n'ont quasimment aucun rapport" par exemple le Th fondamental de l'Algèbre ou encore Weierstrass-Stone comme je le mentionnais précédemment.
La question du 'Essai-erreur' a aussi eu son importance pour certains théorèmes avec le partitionnement progressif des hypothèses.

[LB2]

A un niveau un peu plus modeste (L1), je connais un théorème qui admet de nombreuses preuves, différentes, ou pas si différentes que ça : le théorème de Bolzano-Weierstrass!

https://culturemath.ens.fr/content/le-t ... eierstrass

[Yezu]

Effectivement, je n'y avais pas pensé à celui là ! Merci LB2.

[mathelot]

Et le théorème de Pythagore qui a plus de dix démonstrations

[anthony_unac]

Bonsoir,

Je ne sais pas s'il existe un théorème qui ne peut être démontré que par une seule et unique démo en revanche il existe des résultats non démontrés et des résultats présentant une seule et unique démo connu à ce jour (ce qui ne signifie pas qu'il y en a nécessairement qu'une seule). Il faudrait explorer toutes les branches du possible en partant d'un système d'axiomes donné pour être catégorique. Et puis il y a des énoncés qui sont indécidables (et que c'est parfaitement "normal").
Peut être qu'un jour des IA suffisamment entraînées mettront la main sur des démos qu'on imaginait même pas en créant des outils ou des concepts que nous ignorons à ce jour.

[Yezu]

Ah oui Pythagore en a vraiment beaucoup bien vu Mathelot. Mais la plupart se ressemblent assez avec de petites manips géométriques à faire n'est-ce pas ?

Merci beaucoup de ta contribution anthony_unac ! Effectivement, cela semble trop complexe d'établir l'unicité d'une preuve partant d'un système d'axiomes ... Sais tu s'il y a des branches de la logique qui traitent de ce genre de questions si vagues ?

Très cordialement,

[anthony_unac]

Non je l'ignore et en même temps je serais curieux de lire une démonstration démontrant qu'une démonstration donnée est la seule et unique possible pour démontrer un énoncé mathématique.

[Sylviel]

Une démonstration directe vaut 100 fois une démo par contraposée ou absurde car intrinsèquement, la négation pose des problèmes de cadre (soit n un non nombre entier n'a pas de sens).

Ce n'est pas un avis universellement partagé. Le principal avantage d'une démonstration "directe" est qu'elle est généralement "constructive", et donc qu'en plus de donner l'existence d'une solution par exemple elle montre comment effectivement l'obtenir.