Nombre complexe

[mehdi-128]

Bonsoir,

M'étant embarqué dans des calculs compliqués et n'ayant pas la correction, pourriez vous me dire si ma solution est juste ?

Résoudre dans :

n'est pas racine donc on se ramène à :

est une racine n-ième de -1 donc d'après le cours les racines n-ièmes de -1 sont :

avec

Je voulais savoir si c'est juste jusque là déjà...

[Dacu]

Bonsoir,

M'étant embarqué dans des calculs compliqués et n'ayant pas la correction, pourriez vous me dire si ma solution est juste ?

Résoudre dans :

n'est pas racine donc on se ramène à :

est une racine n-ième de -1 donc d'après le cours les racines n-ièmes de -1 sont :

avec

Je voulais savoir si c'est juste jusque là déjà...

Bon matin,

Pour ou , l'équation n'a pas de solution dans l'ensemble .

Parce que , alors où .

Cordialement,

Dacu

[capitaine nuggets]

Salut !

Ok, du coup, Il te faut résoudre , quel que soit .

[Black Jack]

Salut,

Pour x réel :

(1 + ix)^n = -(1-ix)^n

[(1 + ix)/(1-ix)]^n = -1

2*n*arctg(x) = Pi + 2k.Pi

arctg(x) = Pi*(2k+1)/(2n)

x = tg(Pi*(2k+1)/(2n)) --> existe si n diff de 0 et de 1

[mehdi-128]

Dacu j'ai pas compris d'où sort votre formule compliquée.

L'énoncé donne mais par mon calcul je retrouve qu'il faut avoir sinon ma solution n'est pas définie.

J'ai fait : posons

On obtient :

Vérifions que : pour diviser par

on a :

Ainsi, il suffit de vérifier que

Mais

Conclusion :

Si est impair, l'équation admet solutions :

qui sont bien des réels avec et

Ici on voit que votre correspond à et la tangente n'est pas définie en

Si est pair, l'équation admet solutions :

qui sont bien des réels avec

[Sake]

Salut,

Commence d'abord par ce que t'a indiqué Capitaine Nuggets, c-à-d isole x.

[Dacu]

Dacu j'ai pas compris d'où sort votre formule compliquée.

L'énoncé donne * mais par mon calcul je retrouve qu'il faut avoir sinon ma solution n'est pas définie.

J'ai fait : posons

On obtient :

Vérifions que : pour diviser par

on a :

Ainsi, il suffit de vérifier que

Mais

Conclusion :

Si est impair, l'équation admet solutions :

qui sont bien des réels avec et

Ici on voit que votre correspond à et la tangente n'est pas définie en

Si est pair, l'équation admet solutions :

qui sont bien des réels avec

Bon matin,

Je ne vois pas que vous ayez initialement spécifié que *....
----------------------------------------------------------
Je répète et ajoute ce qui suit:
Pour ou , l'équation n'a pas de solution dans l'ensemble .

Parce que , alors où .Cette formule de calcul résulte du calcul direct parce que l'équation est équivalent avec l'équation .Pour une certaine valeur de avec , on obtient valeurs de et respectivement on obtient valeurs de .
Observation:
Enfin , nous devons voir si toutes les valeurs de vérifient l'équation initiale pour une certaine valeur de où .En fonction de la parité du paramètre on obtient le nombre de solutions réelles du .Par exemple, pour on obtient et et pour on obtient et .

Cordialement,

Dacu

[Black Jack]

Salut,

Les solutions sont x = tg(Pi*(2k+1)/(2n)) (voir mon message précédent)

Qui bien entendu n'existent pas si n = 0 ou si (2k+1)/n = nombre impair (car tan(k.Pi/2) n'existe pas)

Comme tg est Pi périodique, les valeurs de k à considérer sont telles que Pi/2n <= Pi*(2k+1)/(2n) < Pi/(2n) + Pi

1/(2n) < (2k+1)/(2n) < 1/(2n) + 1

1 <= (2k+1) < 1 + 2n

0 <= 2k < 2n

0 <= k < n

Donc pour k dans [0 ; n-1]
----
Avec k dans [0 ; n-1], (2k+1)/n = nombre impair est impossible si n est pair
et si n est impair, (2k+1)/n = nombre impair uniquement pour k = (n-1)/2

----
Groupement des résultats :

Pas de solution avec n = 0
Les solutions sont x = tg(Pi*(2k+1)/(2n)) pour tous k compris dans [0 ; n-1] si n est pair non nul
Les solutions sont x = tg(Pi*(2k+1)/(2n)) pour tous k compris dans [0 ; n-1] à l'exception de k = (n-1)/2 si n est impair. (donc pas de solution pour n = 1 par exemple)

Il y a donc n solutions si n est pair et (n-1) solutions si n est impair.

[mehdi-128]

Merci je trouve la même chose que vous.

Dacu dans mon cours il est déconseillé d'utiliser le racine de -1,...

[Carpate]

Dacu dans mon cours il est déconseillé d'utiliser le racine de -1,...

D'autant plus que Dacu ne définit pas ce qu'il entend par ce symbole :

[mathelot]

Dacu dans mon cours il est déconseillé d'utiliser le racine de -1,...

D'autant plus que Dacu ne définit pas ce qu'il entend par ce symbole :

n'a de sens que si n est un entier impair, le résultat est réel et vaut -1.
c'est la fonction réciproque de de dans

[Carpate]

Mais Dacu n'a pas fait cette distinction

[Dacu]

Merci je trouve la même chose que vous.

Dacu dans mon cours il est déconseillé d'utiliser le racine de -1,...

Bon matin,

Vous avez raison , je devais écrire pour .
Merci beaucoup!
P.S.

De "WolframAlpha" lecture:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=((1%2Bix)%2F(1-ix))%5En%3D-1

Cordialement ,

Dacu

[Sylviel]

Non, non, tu devrais éviter d'utiliser le symbole racine (n-eme ou non) sur -1.

La principale raison étant qu'il n'y a pas de définition universelle de la fonction racine sur les nombres complexes puisqu'on ne sait pas "choisir" entre les différentes solutions de l'équation z^n = x.

Evidemment, on peut comprendre les racine impaire sur les nombres négatif mais c'est généralement déconseillé d'un point de vue pédagogique.