Inégalité:df

[lazard-fez]

a,b et c sont des nombres reels strictement positifs tels ke a+b+c=1
montré ke (1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)>=64

[namfoodle sheppen]

une solution : S=(1+1/a)(1+1/b)(1+1/c)=(1+a+b+c+ab+bc+ac)/abc+1
d'autre part abc=<(1/27) (I.A.G) donc on a :
S>=1+27*(2+ab+ac+bc)=55+27(ab+bc+ac)
il suffit donc de montrer que (ab+ba+ac)>=1/3. On fait donc un lissage vers la moyenne. On remarque que 1/3+1/3+1/3=1 et 3*(1/3)²=1/3. De plus i on remplace a et b par a'=(a+b)/2 et b'=(a+b)/2 (la condition de depart reste vérifiée) :
a'c+b'c+a'b'=c*2*(a+b)/2+((a+b)/2)²=ac+bc+ab+a²/4+b²/4
>=a+b+c
ce qui conlut l'inegalitée

[darkmaster]

Excusez-moi, mais je crois que c'est 64/27 au lieu de 64. Essayez a=b=c=1/3, on obtient 64/27.
Dans ce cas, j'ai trouvé une solution intéressante. :dodo: