Coordonnée d'un point de triangle

[bekelou]

Bonjour j'ai deux problèmes que ne n'arrive pas à résoudre. Merci beaucoup pour vos aides.

1) j'ai un triangle
A (1;1) B (33,22;-78,34) C(?;?)
AB=85,09
BC=52
AC=55

Comment puis je calculer les coordonnées du point C de ce triangle ? par quelle formule?

2)
A(1;1)
D (48,08;50,98)
DE= 64,01
AD=68

Angle ADE=88°
Par quelle formule puis je trouver les coordonnées du point E ?

Merci beaucoup pour votre aide.

Joris

[leon1789]

1)
pose C( x ; y )

On a
BC=52
AC=55
tu traduis cela comment en termes de coordonnées ?

[bekelou]

Racine ( (xC-xB)²+(yC-yB)&)

si je fais pareil avec AC cela me fait une équation à 2 inconnus mais que je n'arrive pas à resoudre, mes résultats diffèrent

[leon1789]

(xC - xB)²+(yC - yB)² = ?
(xC - xA)²+(yC - yA)² = ?

tu développes et tu soustrais. Tu trouves quelle nouvelle équation ?

[bekelou]

Je pense avoir trouver la formule. Mais je vous avoue ne pas en être sûr
Cela fait 24 h que je suis face à un mur mais je ne lache pas

L'objectif est vraiment que je trouve une formule qui me permette en rentrant les données de me donner les coordonnées x et y en sortie pour ces deux pb

[chan79]

salut
Avec les coordonnées de A et B que tu as indiquées: 85.63 <AB <85.64
Tu as mesuré certaines données ?
Et il y a deux possibilités pour C.

[bekelou]

Les données sont mesurées.
Je suis enfaite sur un système qui bouge, C etant le genou, B l'axe de pedalier et A la salle donc fixe. J'essaye enfaite de trouver une formule pour pouvoir determiner La position de C quand la pédale est à 3 h. Avec pour données variable AC ( la taille du fémur) et BC ( la taille du tibia )

[Black Jack]

Salut :

"L'objectif est vraiment que je trouve une formule qui me permette en rentrant les données de me donner les coordonnées x et y en sortie pour ces deux pb"

Voir une méthode possible pour trouver ces "formules" (pour le problème 1) dans la 2ème partie de ma réponse.
********
A (1;1) B (33,22;-78,34)
AB=85,09

Données redondantes et incompatibles.

Par les coordonnées de A et B : AB² = (33,22-1)² + (1 -(-78,34))² = 32,22² + 79,34² = 7664,964

--> AB = 85,2538 (arrondi) et pas 85,09 comme indiqué.

On est donc bien obligé de choisir de laisser tomber une donnée redondante ... qui de plus est fausse.

Je choisis de partir de :

A(1;1) B(33,22;-78,34) C(?;?)
BC=52
AC=55

On calcule AB = 85,2538 (fomme ci-dessus)

"C(x,y)" est le point de rencontre du cercle de centre A et de rayon AC = 55 avec le cercle de centre B et de rayon BC = 52

Donc les coordonnées de C sont solutions réelles (si elles existent) du système :

(x-1)² + (y-1)² = 55²
(x-33,22)² + (y + 78,34)² = 52²

On trouve 2 points C compatibles (coordonnées arrondies) : C1(-11,887 ; -52,469) et C2(47,518 ; -28,344)
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On peut résoudre en littéral ... pour avoir quelque chose de pratique si on veut modifier less coordonnées.

(x-xa)² + (y-ya)² = AC²
(x-xb)² + (y-yb)² = BC²

x² + y² -2(x.xa + y.ya) + xa² + ya² = AC²
x² + y² -2(x.xb + y.yb) + xb² + yb² = BC²

AC² - xa² - ya² + 2(x.xa + y.ya) = BC² - xb² - yb² + 2(x.xb + y.yb)

2(x.xa + y.ya) - 2(x.xb + y.yb) = BC² - xb² - yb² - AC² + xa² + ya²

2x(xa-xb) +2y(ya-yb) = BC² - xb² - yb² - AC² + xa² + ya²

x(xa-xb) + y(ya-yb) = (BC² - xb² - yb² - AC² + xa² + ya²)/2

Donc un lieu de C est la droite d'équation : x.(xa-xb) + y.(ya-yb) = (BC² - xb² - yb² - AC² + xa² + ya²)/2

cette droite est parfaitement définie puisque BC,AC,xa,ya, xc et yc sont connus.

Les points de cette droite ont pour coordonnées (X ; ((BC² - xb² - yb² - AC² + xa² + ya²)/2 - X.(xa-xb))/(ya-yb))

On cherche, parmi ces points ceux qui sont distants de AC du point A(xa,ya)

--> (xa - X)² + [((BC² - xb² - yb² - AC² + xa² + ya²)/2 - X.(xa-xb))/(ya-yb)) - ya]² = AC²

On développe et groupe par puissance de X ... (pas le courage de le faire, c'est un peu long mais sans aucune difficulté)

On a alors une équation du second degré en X à coefficients réels et connus...

cette équation se résout par la méthode bien connue utilisant Delta ...

On a donc alors les 2 relations en littéral donnant les abscisses des 2 points C qui conviennent (si elles existent).

On en déduit les ordonnées correspondantes en utilisant par exemple (xa - Xc)² + (ya - Yc)² = AC² --> Yc = ... (juste attention au signe)
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Voila, cela devrait fonctionner sauf dans les cas où ya = yb (puisque dans le développement ci-dessus, on est amené à diviser par (ya-yb))
... si cela arrive, (ya = yb), ce cas devra être traité à part (mais c'est assez facile)

[Black Jack]

Resalut,

Problème 2

Même remarque que dans le problème 1 sur données redondantes (et incompatibles)

Tu ne peux pas donner les coordonnées de A et D ... et donner une longueur AD qui ne colle pas avec le calcul de AD via les coordonnées de ces points.

- Tu peux calculer AD (à partir des coordonnées de A et D)

- Ensuite, par Al Kashi tu peux calculer AE par : AE² = AD² + DE² - 2*AD*DE*cos(ADE)

Dans le cas de l'ex, cela donnerait : AD² = (48,08-1)² + (50,98-1)² = 4711,7029

AD = 68,64

AE² = AD² + DE² - 2*AD*DE*cos(ADE)
AE² = 4711,7029 + 64,01² - 2*68,64*64,01*cos(88°) = 8502,13
AE = 92,21

Et tu es ramené au cas de l'exercice 1.

connaissant les coordonnées de 2 sommets du triangle (ici A et D, alors que c'était A et B pour l'exercice 1)

et connaissant les 3 longueurs des cotés : DE = 64,01 ; AE = 92,21 et AD = 68,64

Tu peux donc réutiliser les formules que tu auras trouvées dans l'exercice 1 pour ici (en prenant garde de "rebaptiser" certains points si tu ne veux pas risquer de te planter).

En conservant A, tu peux rebaptiser le D du 2eme ex en B et le E du 2ème exercice en C ... et tu es ramené alors exactement sur les notations de l'exercice 1

Juste un commentaire :

Si tu fais comme préconisé ci-dessus ... tu va trouver 2 points E (rebaptisés C) qui conviennent ... ce n'est pas anormal puisque tu n'as pas indiqué le "signe" de l'angle ADE.

C'est à toi de savoir lequel choisir en fonction de l'application concrète.
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Remarque, il existe sans aucun doute d'autres approches pour déterminer les coordonnées des points E ...

Néanmoins, se ramener par un calcul simple (Al Kashi) (parfaitement réalisable en littéral --> formule) pour calculer le 3ème coté non donné et pouvoir alors utiliser le même logiciel pour traiter les 2 types de problèmes me semble "intéressant".