Calcul de primitives

[Sarra_sonia]

Bonjour,

Je voudrais calculer la primitive de
f(x)= x^4 / (1+x)(1+x^2)

mon idée est de la décomposer comme suit
f(x)= A/(1+x)+B/(1+x^2)
mais je n'arrive pas à trouver les formes convenables de A et B ...

Merci.

[pascal16]

une façon de faire

tu as du degré 4 en haut, 3 en bas, on peut déjà sortir un polynôme de degré 1 de la fraction
f(x)= x^4 / (1+x)(1+x^2)
f(x)= ax+b +c /(1+x)+(dx+e)/(1+x^2)

a=1 en comparant les termes de degré le plus haut
x^4 / (1+x)(1+x^2) = x(x^3+x²+x+1) / (1+x)(1+x^2) - x(x²+x+1) / (1+x)(1+x^2)
= x - x(x²+x+1) / (1+x)(1+x^2)
= x - ( x(x²+x+1)+1-1) / (1+x)(1+x^2)
= x-1+1/ (1+x)(1+x^2)


il reste à décomposer 1/ (1+x)(1+x^2) = c /(1+x)+(dx+e)/(1+x^2)

[Pisigma]

Bonjour,







ensuite pour déterminer les coefficients, tout dépend de ce que tu connais comme méthode

tu pourrais, par exemple, écrire : et procéder par identification mais il

existe d'autres méthodes

[Pisigma]

bonjour pascal16

sorry, je n'avais pas vu ta réponse

[Pisigma]

Bonjour,

[pascal16]

NB :
si on a une forme P/Q, avec °P > °Q, il n'y a pas de dérivée classique qui a cette forme.

mais P/Q, avec °P ≤ °Q, on a du ln, de l’arc-tangente ...

d'où la transformation proposée obligatoire (sauf question préliminaire qui remplace cette recherche

[Sarra_sonia]

merci beaucoup pour vos réponses, si vous me permettez, je voudrais savoir comment on sait que la décomposition de 1/(1+x)(1+x^2) est de la forme (Ax+b)/(1+x^2)+C/(1+x) et non
C/(1+x^2)+(Ax+b)/(1+x) par exemple!

[Pisigma]

vois ici, par exemple, (c'est assez détaillé)

http://public.iutenligne.net/mathematiques/algebre/millaud/FractionsRationnelles.pdf

[mathelot]

on a par exemple dans C:



comme le résultat est réel et la décomposition unique, en conjuguant, on a:
A réel,