Autre possibilité ... si on ne peut pas passer par une intégrale (long mais sans difficulté majeure) :
Si n est pair, on groupe les termes ainsi : le 1er avec le dernier, le 2eme avec l'avant dernier ...
le 1er + le dernier = [1/(n+1+a) + 1/(n+n-a)]
Les groupements sont de la forme [1/(n+a) + 1/(n+n-a)] avec a entier de 0 à n/2
1/(n+1+a) + 1/(n+n-a) = (2n-a+n+1+a)/((2n-a)(n+1+a)) = (3n+1)/((2n-a)(n+1+a))
1/(n+1+a) + 1/(n+n-a) = (3n+1)/(2n²+2n+a.n-a-a²)
f(a) = (3n+1)/(2n²+2n+a.n-a-a²) avec a dans [1 ; n/2]
f'(a) = -(3n+1)*(n-1-2a)/((2n²+2n+a.n-a-a²))²
f'(a) < 0 pour 1 < a < (n-1)/2
f'(a) = 0 pour a = (n-1)/2
f'(a) > 0 pour (n-1)/2 < a < n/2
Donc, le max global de f(a) est soit pour = 0, soit pour a = n/2
f(0) = (3n+1)/(2n.(n+1))
f(n/2) = (3n+1)/(1,5.n * (1,5n + 1))
En comparant (2n(n+1)) à (1,5.n * (1,5n + 1)), on conclut que le max de f est pour a = 0
Donc le plus grand des groupements [1/(n+1+a) + 1/(n+n-a)] est pour a = 0, ce max vaut : [1/(n+1) + 1/(2n)]
Si on prend cette valeur pour chaque groupement, leur somme sera donc > à Un
Il y a "n/2 groupes" --> Un < n/2 * [1/(n+1) + 1/(2n)]
Un < n/2 * (3n+1)/(2n.(n+1))
Un < (3n+1)/(4.(n+1))
g(n) = (3n+1)/(4.(n+1)) : g est strictement croissante pour n >= 2 et donc Un < lim(n--> +oo) [(3n+1)/(4.(n+1))] = 3/4
Un < 3/4
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Même technique si n est impair, mais on groupe en laissant tomber le dernier.
Et une fois la somme trouvée (de (n-1)/2 termes) ... on ajoute le dernier terme, soit 1/(2n)
... et on arrive au final à Un < 3n/((n+1).(2n-1)) * (n-1)/2 + 1/(2n)
Un < 3n.(n-1)/(2(n+1).(2n-1)) + 1/(2n)
On montre que [3n.(n-1)/(2(n+1).(2n-1)) + 1/(2n)] est croissant avec n et on conclut alors :
Un < lim(n--> +oo) [3n.(n-1)/(2(n+1).(2n-1)) + 1/(2n)]
Un < 3/4
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Toutes erreurs incluses.