Demonstration

[mehdii]

comment peut on démontrer que le nombre dérivé d'une fonction dérivable en un point est le coefficient directeur de la droite tangeante en ce point, je vois pourquoi c'est le cas intuitivement, mais comment le démontrer ?

[Carpate]

Graphiquement c'est évident mais ça peut se démontrer par le théorème des accroissements finis
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9o ... ents_finis

[mehdii]

je ne vois pas comment

[Carpate]

Soient 2 points , du graphe de f(x)

Le T.A.F dit qu'il existe tel que : (1)
Quand :
a) , la corde tend vers la tangente en
b) coeff. directeur de la corde tend vers vers le coefficient directeur de la tangente en
c) c qui appartient à tend vers et
Donc d'après la relation (1), à la limite, = coefficient directeur de la tangente en

EDIT

Le T.A.F dit qu'il existe ...

sous conditions de continuité et de dérivabilité de f

[aviateur]

Bonjour
Je pense qu'il n'y a pas de démonstration à faire. On est dans le cadre de la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point qui est l'interprétation analytique de l'existence d'une tangente à la courbe (G de la fonction notée f) au point .
Si M est un point courant de G différent de et si on désigne la la droite alors pour des courbes "assez régulières" on voit que lorsque M tend vers la droite tend vers une droite qu'on appelle tangente.
Analytiquement ça veut dire que la pente de (i.e le taux d'accroissement h )
admet une limite qui est la pente de que l'on note
Donc il n'y a rien a démontrer, ça vient de la définition de la dérivée qui est une interprétation d'une propriété géométrique d'une courbe d'équation y=f(x)

[mehdii]

si, je pense qu'il est necessaire de le démontrer car la définition de la droite tangente est indépendante de celle du nombre dérivée.
bien que la définition de ce dernier vienne de notre intuition a propos de cette tangeante, rien ne garantit que la limite du taux d'accroissemnt soit égale au coefficient directeur de la droite tangeante.

[aviateur]

!!!! Pas du tout. Pourtant j'ai été clair.

Alors dans ce cas donne moi la définition de la droite tangente!

En effet si tu veux une démo il faut alors donner une définition exacte.

[mehdii]

la tangeante à une courbe en un point est une droite qui, au voisinage de de ce point, coupe la courbe en un seul point, sans la traverser.

[aviateur]

la tangeante à une courbe en un point est une droite qui, au voisinage de de ce point, coupe la courbe en un seul point, sans la traverser.

Ha, tiens c'est nouveau?
Avec cette "définition" toute droite d'équation y= a x, avec |a|<1 est une droite tangente à la courbe d'équation y=|x| au point de coordonnée (0,0). !!!?

[chan79]

la tangeante à une courbe en un point est une droite qui, au voisinage de de ce point, coupe la courbe en un seul point, sans la traverser.

salut
elle peut traverser: tangente au point (0;0) pour