Montrer que cette suite est inférieure a 3/4

[mehdii]

on pose la suite Un=1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(n+n) definies sur N\{1}
montrer que pour tout n de N\{1} : Un <3/4
j'ai montré que la suite est croissante et qu'elle est toujours inférieure à 1 (il suffit de remarquer que pour tout K positif 1/(n+1+k) < 1/(n+1))
à par ca je bloque

[chan79]

salut
Tu es en quelle classe ?
Tu peux voir du côté de la série harmonique
ta suite est croissante et converge vers ln(2)

[aviateur]

Bonjour
En posant f(x)=1/(1+x) on a
Mais

[mehdii]

je suis en 6eme
on est sencé le faire sans integrales

[aviateur]

je suis en 6eme
on est sencé le faire sans integrales

T'es sûr?

[mehdii]

oui

[aviateur]

Alors si tu es en 6ème, tu appliques la méthode de la compensation des inverses des nombres croissants. Cela te donnera exactement que C'est moins bien que mais de toute façon c'est plus facile que ce qui est demandé.

[mehdii]

quelle est cette méthode ?

[mathelot]

salut
Tu es en quelle classe ?
Tu peux voir du côté de la série harmonique

Medhi est en 1ère. donc pas de calcul intégral.

[aviateur]

quelle est cette méthode ?

C'est à dire que tu compenses le déficit de avec 3/4 par une estimation du déficit de 2 termes consécutifs. En gros un élève de 6ème peut comprendre sauf que je ne suis pas sûr qu'il soit à l'aise avec les notations abstraites de la forme 1/n.
Le terme de compensation semble convenir.

[aviateur]

***********************

[mehdii]

merci infiniement

[Black Jack]

Autre possibilité ... si on ne peut pas passer par une intégrale (long mais sans difficulté majeure) :

Si n est pair, on groupe les termes ainsi : le 1er avec le dernier, le 2eme avec l'avant dernier ...

le 1er + le dernier = [1/(n+1+a) + 1/(n+n-a)]

Les groupements sont de la forme [1/(n+a) + 1/(n+n-a)] avec a entier de 0 à n/2

1/(n+1+a) + 1/(n+n-a) = (2n-a+n+1+a)/((2n-a)(n+1+a)) = (3n+1)/((2n-a)(n+1+a))

1/(n+1+a) + 1/(n+n-a) = (3n+1)/(2n²+2n+a.n-a-a²)

f(a) = (3n+1)/(2n²+2n+a.n-a-a²) avec a dans [1 ; n/2]

f'(a) = -(3n+1)*(n-1-2a)/((2n²+2n+a.n-a-a²))²

f'(a) < 0 pour 1 < a < (n-1)/2
f'(a) = 0 pour a = (n-1)/2
f'(a) > 0 pour (n-1)/2 < a < n/2

Donc, le max global de f(a) est soit pour = 0, soit pour a = n/2

f(0) = (3n+1)/(2n.(n+1))
f(n/2) = (3n+1)/(1,5.n * (1,5n + 1))

En comparant (2n(n+1)) à (1,5.n * (1,5n + 1)), on conclut que le max de f est pour a = 0

Donc le plus grand des groupements [1/(n+1+a) + 1/(n+n-a)] est pour a = 0, ce max vaut : [1/(n+1) + 1/(2n)]

Si on prend cette valeur pour chaque groupement, leur somme sera donc > à Un

Il y a "n/2 groupes" --> Un < n/2 * [1/(n+1) + 1/(2n)]

Un < n/2 * (3n+1)/(2n.(n+1))

Un < (3n+1)/(4.(n+1))

g(n) = (3n+1)/(4.(n+1)) : g est strictement croissante pour n >= 2 et donc Un < lim(n--> +oo) [(3n+1)/(4.(n+1))] = 3/4

Un < 3/4

**************
Même technique si n est impair, mais on groupe en laissant tomber le dernier.

Et une fois la somme trouvée (de (n-1)/2 termes) ... on ajoute le dernier terme, soit 1/(2n)

... et on arrive au final à Un < 3n/((n+1).(2n-1)) * (n-1)/2 + 1/(2n)

Un < 3n.(n-1)/(2(n+1).(2n-1)) + 1/(2n)

On montre que [3n.(n-1)/(2(n+1).(2n-1)) + 1/(2n)] est croissant avec n et on conclut alors :

Un < lim(n--> +oo) [3n.(n-1)/(2(n+1).(2n-1)) + 1/(2n)]

Un < 3/4
**************
Toutes erreurs incluses.

[mathelot]

On peut utiliser les suites adjacentes:
il s'agit de couple de suites tel que:
croissante, décroissante et

on montre alors

soit

et sont convergente (dans R) et ont même limite.

on pose

on obtient:




d'où
pour tout

[chan79]

Bien vu, mathelot !