Développement asymptotique d'une fonction inverse

[math71]

Bonjour,
Voici déjà l'énoncé de mon exercice:
Soit f définie sur R par f(0)=1 et pour les autres x, f(x)=x/(exp(x)-1)
Dans un premier temps j'ai montré que f est de classe sur R, j'ai trouvé en passant que f'(0)=-1/2.
Puis j'ai montré que f réalise une bijection de R sur , j'ai représenté graphiquement f.
Dans une 3° question j'ai montré que est dérivable et que , puis j'ai donné un développement limité de en 1 d'ordre 1, et en ai déduit le développement limité d'ordre 2 de
en 1.
Je bloque tout à fait à la question 5 et un peu à la question 6. les voilà:
5) Déterminer un équivalent de quand y tend vers 0, puis un développement asymptotique à 2 termes de quand y tend vers 0.
6) Déterminer un équivalent de quand y tend vers , puis un développement asymptotique à 2 termes de quand y tend vers .
Je commence par vous dire ce que j'ai fait à la question 6, les 2 questions étant indépendantes, si ça se trouve, en comprenant le 6 j'arriverais peut-être à faire le 5, puisque c'est un peu sur le même principe...
J'ai commencé par dire que d'après l'étude de f y tend vers lorsque x tend vers.
On a
or si x tend vers , on a qui est un o(1) donc y est équivalent à -x quand y tend vers
Et par conséquent est équivalent à -y en
J'ai alors calculé
Cela vaut /
Cela s'écrit aussi cela est équivalent à -
Le -x est équivalent à y mais je ne peux pas appliquer l'exp à des équivalents donc je ne peux pas conclure que c'est équivalent à ...
Merci de me dire comment je peux continuer s'il vous plait.
Au 5) je bloque tout de suite . J'ai bien vu que si y tend vers 0 c'est que x tend vers
donc est équivalent à , mais après, comment n'avoir que des y ?
Merci d'avance pour une aide quelconque.

[aviateur]

Bonjour
Pour y tend vers , on a

Pour s'en convaincre poser et remplacer dans y-f(x)=0 et montrer que u tend vers 1 quand y tends vers

De même quand y tend vers on a

[math71]

Merci, je vais vérifier cela. Cela dit, cela ne m'aide pas vraiment car pour que cela me serve, il faudrait que je sache comment on aboutit à ces résultats, afin que je n'ai pas besoin de talents de voyance pour trouver les résultats. Parce que intuitivement par exemple pour le second j'aurais dit
Merci quand même.

[aviateur]

C'est le principe du bootstrap.
C'est à dire que tu cherches le premier terme: par exemple (dans le 2ème exemple) tu trouves
x=-y + o(-y). (ici bien sûr o(-y)=o(x)) Tu réinjectes ça dans l'équation, automatiquement, si ton premier terme est bon à ce simplifie se simplifie et vas tu obtenir une information sur le o(-y) un peu de la même façon que sur le premier.
La seule chose à savoir faire c'est faire des DL.

Bon j'ai oublié un moins alors j'ai corrigé dans le message précédent.

[math71]

Rebonjour,
C'est effectivement ce que j'avais essayé de faire, si vous voulez bien relire ce que j'avais mis dans mon premier message. Et justement, je ne voyais pas comment obtenir l'équivalent pour la question 5 alors que j'avais réussi pour la question 6. Et au 6), une fois obtenu l'équivalent, j'avais du mal m'y prendre parce que je n'aboutissais pas. Faut-il bien partir de ? Et si oui, que faut-il faire ensuite? Ecrire? Mais je ne vois pas comment simplifier cette expression... Désolé...
Et comment faites-vous pour obtenir au 5) que x est équivalent à ln(-y)?

[aviateur]

Rebonjour
Je reprends pour le 6. i.e si y tend vers Là on va pas se fatiguer: x tend vers d'après l'étude de f.

Alors donne et e^x tend vers 0. On a
Alors je préfère écrire avec qui tend vers 0.
En fait ici
Il faut donc réinjecter pour obtenir le second terme.

Or donne ou encore
Et ceci implique
On a donc
D'où finalement

[aviateur]

parce que intuitivement par exemple pour le second j'aurais dit
Merci quand même.

Bien sûr j'ai oublié de mettre le - . Voir la solution détaillée du message précédent.

[math71]

Merci beaucoup, c'est plus clair ainsi, mais il y a une étape que je ne comprends pas, désolé: pourquoi est-ce que

implique ?
Et je n’arrive toujours pas à montrer que, dans la question 5, x est équivalent à ln(-y).

[aviateur]

Bonjour
Pour la fonction: avoir h(u)=o(1) ne correspond que 2 possibilités, u=o(1) ou bien u tend vers
En posant u=x+y on a h(y)=h(u) avec y qui tend vers l'infini. Or si on avait u tend vers l'infini, c'est facile de voir que i.e x=0 ce qui n'est pas possible. Donc x+y=o(1).

question 5 y---> 0^+ , évidemment x tend vers
y=x/(e^x-1) donc
donc
i.e

[math71]

Bonjour,
Merci de continuer à m'aider.
C'est bon, j'ai bien compris pour le 6.
Idem pour l'équivalent du 5, mais il fallait penser à partir de lny. Qu'est-ce qui permet de penser qu'il faut partir ainsi? Et pour la suite je sais qu'il faut normalement partir de x-ln(y), mais là je dois retourner en cours. je m'y remettrai plus tard.

[math71]

C'est bon, j'ai réussi à finir! merci encore, on peut clore ce sujet... Bonne soirée