Sous-espace vectoriel de dimension finie

[Goliath]

Bonjour,

Je suis bloqué sur une question, la voici :

On suppose W un sous-espace vectoriel de dimension finie dans V, on fixe x V\W et on appelle m l'infinimum de v - w pour w W.
La question est : Montrer qu'il existe au moins un w1 W tel que v -w1 = m

La seul chose que j'ai c'est le fait que W est fermé car il est de dimension finie mais je ne vois pas comment l'utiliser.

Merci d'avance pour votre aide.

[aviateur]

Bonjour
A mon avis voir le Théorème de la projection sur un convexe complet.
Sinon soit f la fonction définie sur W par f(w)=||v-w||. Remarque elle est continue.
Soit (qui existe).
Considérons C'est un fermé borné de W donc un compact.
Il existe une suite de H tel que converge vers a. On peut en extraire une sous-suite (encore notée qui converge vers un w dans H donc ds W et par continuité de f on en déduit que

Evidemment , il y a la question intéressante de l'unicité ou pas qui mérite d'être étudiée