Géométrie dans l'espace

[Lovahange12]

Bonjour, j'ai un exercice de math sur la géométrie sur 2 sphère.
J'aurai besoin d'aide svp.

Enoncé:
Soit (S) la sphère d'équation:

et (S') la sphère d'équation:


1. Déterminer le centre Ω et le rayon r de (S).
2. Déterminer le centre Ω' et le rayon r' de (S').
3. Calculer la distance ΩΩ' et en déduire que les deux sphères sont sécantes.
4. Soit M un point de l'intersection (S)⋂(S').
a. Démontrer que le point M est sur le plan médiateur de [ΩΩ'].
b. Démontrer que le point M est sur un cercle dont on déterminera le centre I et le rayon c.
c. Calculer le produit scalaire des vecteurs (ΩM) et (ΩΩ').
5. Déterminer une équation cartésienne du plan médiateur [ΩΩ'].
6. Déterminer un système paramétrique de la droite (ΩΩ').
7. Le volume de la calotte sphérique d'une sphère de rayon R et de hauteur h=AB est donnée par:
π ∫_(R-h) ^R (c'est le signe intégrale)
a. Démontrer π/3 (3R-h)
b. En déduire le volume occupé par le solide constitué des deux sphère (S) et (S').

Mes réponses sont:

Exercice 103:
1. Soit Ω(a;b;c) le centre de la sphère de rayon r.
Un point M(x;y;z) appartient à la sphère.
Ainsi, l'équation de la sphère est du type:




Ici, l'équation de la sphère (S) est:


Ainsi:

r=√7

Déterminons a, b et c les coordonnées du centre `'¨¤w.
On a:

-2a=-4
a=2

-2by=-4y
-2b=-4
b=2

-2cz=2z
-2c=2
c=-1

Les coordonnée du centre de la sphère (S) sont Ω(2;2;-1)

2. Déterminons également le centre Ω' et le rayon r' de la sphère (S').
Ici, l'équation de la sphère (S') est:


Ainsi:
r'^2=-13
(Je pense que ça doit être faut alors)

Déterminons a, b et c les coordonnées du centre .
On a:

-2ax=-8x
-2a=-8
,a=4

-2by=-6y
-2b=-6
b=3

-2cz=2z
-2c=2
c=-1

Les coordonnée du centre de la sphère (S) sont Ω'(4;3;-1) .

3. Calculons ΩΩ' .

ΩΩ'"√( )
`'"√5

4. Déterminons les coordonnées du point M(x;y;z).
Résolvons le système d'équation suivant:
(
(

[pascal16]

forme canonique : x²-4x = (x-2)²-2² = (x-2)²-4
et le -4 devient +4 quand il passe de l'autre coté du "=" ce qui change tes rayons qui sont faux

[Lovahange12]

forme canonique : x²-4x = (x-2)²-2² = (x-2)²-4
et le -4 devient +4 quand il passe de l'autre coté du "=" ce qui change tes rayons qui sont faux

Merci pour ton aide.
J'ai pas compris, parce que pour moi il donne déjà l'équation finale donc je pensais qu'il fallait juste identifier.

[Carpate]

Si tu choisis la méthode d'identification :


alors






Edit !
Je corrige après la remarque de Chan79 :

ce qui donne

[chan79]

Si tu choisis la méthode d'identification :


alors

petite étourderie
r²=4+4+1+7=16

[Lovahange12]

Ah ok, merci!
Est ce l'un d'entre vous serez m'expliquer les questions suivantes?

[chan79]

pour la première équation
x²+y²+z²-4x-4y+2z=7
on l'écrit
x²-4x+y²-4y+z²+2z=7
(x-2)²-4 +(y-2)²-4+(z+1)²-1=7
(x-2)²+(y-2)²+(z+1)²=4+4+1+7
(x-2)²+(y-2)²+(z+1)²=16
(x-2)²+(y-2)²+(z+1)²=4²
c'est la sphère de centre (2;2;-1) et de rayon 4
Fais pareil pour l'autre équation

[Lovahange12]

Oui ça c'est bon j'ai réussi.
C'est pour la question 4 que je suis bloquée.

[Lovahange12]

Moi quand je fais la même chose que toi ça me donne:
(x-2)²+4 +(y-2)²+4+(z+1)²-1=7
Donc quand tu passe de l'autre côté ça fait:
(x-2)²+(y-2)²+(z+1)²=7-4-4+1=2

[Black Jack]

Moi quand je fais la même chose que toi ça me donne:
(x-2)²+4 +(y-2)²+4+(z+1)²-1=7
Donc quand tu passe de l'autre côté ça fait:
(x-2)²+(y-2)²+(z+1)²=7-4-4+1=2

Non, c'est la réponse de Chan qui est correcte.

x²-4x = (x-2)² - 4

vérifie en développant le membre de droite ...

[Carpate]

Moi quand je fais la même chose que toi ça me donne:
(x-2)²+4 +(y-2)²+4+(z+1)²-1=7
Donc quand tu passe de l'autre côté ça fait:
(x-2)²+(y-2)²+(z+1)²=7-4-4+1=2

Non c'est et non +4
donc
(

[pascal16]

4. Soit M un point de l'intersection (S)⋂(S').
a. Démontrer que le point M est sur le plan médiateur de [ΩΩ'].
-> c'est pas -10 pour la seconde équation ?

b. Démontrer que le point M est sur un cercle dont on déterminera le centre I et le rayon c.
le cercle se trouve dans un plan perpendiculaire à [ΩΩ']
si on corrige et qu'on est bien sur le plan médiateur, c'est le milieu de [ΩΩ']
avec un pt quelconque du cercle + le centre, on a le rayon

c. Calculer le produit scalaire des vecteurs (ΩM) et (ΩΩ').
M dans un plan perpendiculaire à [ΩΩ'], son projeté orthogonal est donc tj au même endroit, le produit scalaire est constant.

5 : ax+by+cz+d=0 on utilise le vecteur ΩΩ'pour (a,b,c) et le fait que le milieu de [ΩΩ'] appartienne au plan pour d

6 : Ω+ t vecteur ΩΩ'

7b : je pense qu'ion va se servir de 6

[Lovahange12]

4. Soit M un point de l'intersection (S)⋂(S').
a. Démontrer que le point M est sur le plan médiateur de [ΩΩ'].
-> c'est pas -10 pour la seconde équation ?

b. Démontrer que le point M est sur un cercle dont on déterminera le centre I et le rayon c.
le cercle se trouve dans un plan perpendiculaire à [ΩΩ']
si on corrige et qu'on est bien sur le plan médiateur, c'est le milieu de [ΩΩ']
avec un pt quelconque du cercle + le centre, on a le rayon

c. Calculer le produit scalaire des vecteurs (ΩM) et (ΩΩ').
M dans un plan perpendiculaire à [ΩΩ'], son projeté orthogonal est donc tj au même endroit, le produit scalaire est constant.


5 : ax+by+cz+d=0 on utilise le vecteur ΩΩ'pour (a,b,c) et le fait que le milieu de [ΩΩ'] appartienne au plan pour d

6 : Ω+ t vecteur ΩΩ'

7b : je pense qu'ion va se servir de 6

Pour ta question sur la 4. non c'est bien égale à -13.

4. b. Si je comprend bien I c'est le milieu du segment [ΩΩ'} et donc le rayon c'est la moitié de la distance de ce segment.
4. c. Cette question j'ai compris qu'il fallait calculer le produit scalaire.
5. Je vois ce qu'il faut faire
Et après j'ai pas trop compris où tu voulais en venir

[Lovahange12]

Moi quand je fais la même chose que toi ça me donne:
(x-2)²+4 +(y-2)²+4+(z+1)²-1=7
Donc quand tu passe de l'autre côté ça fait:
(x-2)²+(y-2)²+(z+1)²=7-4-4+1=2

Non c'est et non +4
donc
(

Ok merci j'ai vu mon erreur

[salomelenormand]

bonjour,
j'ai le même exercice que toi sauf que je n'ai pas compris la 3 du coup je suis bloquée pour le reste de l'exercice
3. Calculer la distance et en déduire que les deux sphères sont sécantes.
pour calculer ΩΩ' j'ai fais
ΩΩ'= {(4-2);(3-2);(-1)-(-1)} --> ΩΩ' = {2,1,0}
mais apres je ne sais pas quoi faire ou quoi ecrire ...
pouvez vous m'aider svp

[pascal16]

la distance entre Ω et Ω' est racine(2²+1²+0²)

si cette distance est inférieure à la somme des rayons, les cercles se coupent

[salomelenormand]

j'ai compris mercii