CNS de trigonalisabilité avec polynome minimal

[Gurvan44]

Salut !
Je n’arrive pas à comprendre ce “corollaire 1)” : https://drive.google.com/open?id=1sRHLW ... 8m2ilNkE5k

(corollaire aux propositions qui précédent cf Drive)

le “réciproquement” et encore plus précisément à partir de “ et on conclut que f trigonalisable”.
Je ne connais qu’une CNS de trigonalisabilité (sur K), le pol caractéristique est scindé (dans K).

Ainsi le le coeur de ma question est, j’imagine, pourquoi
( Pol minimal scindé => pol cara scindé ) ?

(Je connais normalement tout ce qui faut sur l'arithmétique des polynomes, polynomes irréductibles etc..)

Merci beaucoup à ceux qui essaieront de m'aider !

[Ben314]

Salut,
Dans la proposition 3, il est écrit que :
le polynôme caractéristique et le polynôme minimal ont les mêmes diviseurs irréductibles.
Ce qui implique évidement que si l'un des deux est scindé alors l'autre aussi vu que
"scindé" = "tout les diviseurs irréductible sont de degré 1"

[Gurvan44]

Pour commencer, merci beaucoup encore une fois pour ton aide...
Du coup ma question devient pourquoi scindé <=> tous les diviseurs irréductibles sont de degré 1 ?
Voilà mon "début de preuve" (cf Drive)

Peut-être un exemple sur des polynômes de R[X] de faibles degrés pourrait m'éclairer je ne sais pas..

[Ben314]

Du coup ma question devient pourquoi scindé <=> tous les diviseurs irréductibles sont de degré 1 ?

Ben pour une raison somme toute assez simple : c'est la définition de "scindé"...

[Gurvan44]

Moi j'ai scindé <=> le pol a cette tête : a*PRODUIT[ (X - xk)^wk ]

[Ben314]

Moi j'ai scindé <=> le pol a cette tête : a*PRODUIT[ (X - xk)^wk ]

Ben . . . oui . . .
Et visiblement, y'a un truc que tu as pas trop capté concernant la notion de factorisation (ou celle de facteur irréductible) vu que ça, ce que ça dit, ben c'est très exactement que les facteurs irréductibles sont de degré 1.

- C'est quoi selon toi un "facteur irréductible" d'un polynôme ?
- Est ce qu'un polynôme du premier degré est forcément irréductible (quelque soit le corps de base) ?
- Est ce qu'un produit d'au moins deux polynôme du premier degré peut-être irréductible ?

[Gurvan44]

_P irréductible ssi Divisible que par des aP ou des b (a,b) € R^2 ce qui se traduit par deg <=1 dans C et <= 2 dans R

_ Oui

_non par définition il est alors divisible par l'un ou l'autre des deux polynomes du produit .

Je crois que c'est bon, je vais essayer de montrer que ma déf de scindé => tous les diviseurs irréductibles sont de deg 1, puis l'implication renversée. Je ne te demande pas de lire ma preuve que j'ai écrite sur le fil et donc assez peu agréable j'imagine, cependant elle m'a permis d'être convaincu.Et je te remercie pour la pertinence de tes questions !

Soit Q un diviseur irréductible de P scindé,
Q divise P implique Q s'écrit comme un polynome de degré 1 car s'il était de degré 2 il existerait deux racines de P x1, x2 tq Q = (X - x1)*(X - x2) et Q ne serait alors plus irréductible. Même raisonnement si on suppose deg(Q)>=2. Ainsi j'ai montré ma déf de scindé => tous les diviseurs irréductibles sont de deg 1.

Mnt montrons : ts les diviseurs irréductibles sont de deg 1 => ma déf de scindé

Soit P un polynome dont tous les les diviseurs irréductibles sont de deg 1.

Alors supposons qu'il existe Q tq deg(Q) >=2, et que P s'écrit comme un produit fini de polynômes de degré 1 et de Q, i.e. : P =(X - x1)*(X - x2)*...*(X- x3)* Q. Et montrons que Q est nécessairement aussi un produit de polynome de degré.
puisque Q divise P et deg(Q)>= 2, Q n'est pas irréductible et donc il existe deux polynômes R1 et R2 qui divisent Q donc Q = R1*R2 et deg(R1),deg(R2) < deg(Q). Réitérer en appliquant le résultat à R1 et R2 et ainsi de suite jusqu'à obtenir que Q est un produit de polynomes de degré 1.