Cercle complexe

[picarré]

Salut, tout le monde !

j'ai un problème, et personne ne peut m'aider !

alors, il s'agit de ceci :

Soit r>0, r!=1. Démontrer que l'ens. S = {z élément de C : module((z-z0)/z) = r} est un cercle.

Or, pour rappel : un cercle dans les nombres complexes et défini par : module(z-z0) = r, avec z0 : centre du cercle et r : rayon du cercle.

Or, j'ai la réponse, mais même en la vérifiant, je ne trouve même pas l'énoncé !

Voici la réponse :

module(z - zo/(1-r^2)) = module(r*zo/(1-r^2))

Ceci serait donc un cercle de centre zo/(1-r^2) et de rayon module(r*z0/(1-r^2))

Or, comme j'ai déjà autant essayé, je doute qu'il n'y aurait pas qqepart une faute, probablement dans la réponse.

merci pour votre dévouement !

pi^2

[Quidam]

Or, pour rappel : un cercle dans les nombres complexes et défini par : module(z-z0) = r, avec z0 : centre du cercle et r : rayon du cercle.

Certes ! Mais cela ne veut pas dire qu'une équation qui ne ressemble pas à cette formule ne peut pas définir un cercle !

En fait, le cercle que tu dois trouver n'a pas pour centre z0 !
Transforme l'équation module((z-z0)/z) = r pour la mettre sous la forme module(z-z1)=r' ! Et tu l'auras ton cercle !

Un résultat de géométrie élémentaire est que le lieu des points dont le rapport des distances à deux points donnés est égal à une constante donnée est un cercle ! Malheureusement, cette géométrie élémentaire a disparu des programmes !
Ici, module((z-z0)/z) = r se traduit par MM0 / MO = r. Le lieu que tu cherches est bien un cercle !
Ecris z=x+iy, z0=x0+iy0 et traduis module((z-z0)/z) = r en une équation en x et y...tu trouveras l'équation d'un cercle !
Il y a peut-être plus simple en restant dans les complexes...A toi de voir !

[picarré]

salut,

ouais, ouais ... alors c'est là le problème ! en effet, je n'arrive ppas à transformer la donnée !

je suis convaincu qu'il s'agit d'un cercle :)

[maturin]

tu fais un petit dessin tu vois que ça peut ressembler vaguement à un cercle, qu'un diametre de ton cercle est sur la droite (0,Z0)

ce diamètre est en fait Z1,Z2 avec z1=rz0 et z2=z0/(1+r) (tu peux vérifier c'est bien des points de ton équation).

donc t'en déduis le centre Zc=(z1+z2)/2

après tu cherches |z-Zc| et tu trouves que c'est une constante.
Donc ta supposition de cercle est bonne.

Par contre, même si j'ai pas fait tous les calculs, ta solution à toi me parait pas bonne pour le centre du cercle.

[picarré]

salut,

en effet, ja'i déjà travaillé plusieurs études là-dessus, et en effet, il n'y a que le problème avec le dévloppement algébrique qui ne me réussit pas. en effet, je ne garantis pas que la solution est correcte! je m'en doute.

merci!

[maturin]

bon je me suis gourré c'est z1=z0/(1-r) et z2=z0/(1+r) le diamètre...
donc tu avais raison pour le centre.

[picarré]

c'est bien, c'est bien! mais comment y arriver, algébriquement ? avec les données, je n'y parviens pas ...

[maturin]

ben tu fais du calcul un peu bourrin.

Tu écris que (z-z0)=z.r.exp(ia)
d'où z=z0/(1-rexp(ia))

tu remplaces dans |z-Zc|

moi il me reste |z0*r/(1-r²)|*|1+r.exp(ia)|/|1-r.exp(ia)|
et comme ces 2 derniers termes ont même valeur tu retrouves ton rayon.



bon allez promis la prochaine fois j'avance un peu plus dans mon calcul avant de répondre un truc faux :marteau:

[Quidam]

En posant z=x+iy, z0=x0+iy0
et en appelant M le module de (Z-Z0)/Z :




Etc... C'est bien l'équation d'un cercle si ^|M| n'est pas égal à 1 !

[yos]

, en notant et M(z).
L'ensemble cherché est formé des points dont le rapport des distances à A et à O est égal à r. Ca s'appelle un cercle d'Appolonius. On voit ça en première S (analytiquement ou avec le produit scalaire). Ce cercle a pour diamêtre [GH] avec G barycentre de (A,1),(O,r) et H barycentre de (A,1),(O,-r).