Exos complexes

[Kkshiii]

Bonjour à tous, j'ai un exercice sur les complexes à faire mais je bloque sur la 3ème question.
Voici l'énoncée :

On munit le plan complexe d'un repère orthonormée direct (O;u,v)
Pour tout entier naturel n on appelle Mn le point d'affixe Zn = (1+i)^n
On a donc z0=1 et pour tout entier naturelle n, Zn+1 = (1+i)Zn

1) a) Donner la forme trigonométrique du nombre 1+i
b) en déduire la forme trigonométrique, pour tout entier naturel n, du nombre complexe Zn

2) Construire les points M0, M1, M2, M3, M4 sur une même figure

3) Déterminer le module et l'argument des affixes des vecteurs (je ne sais pas comment mettre le signe flèche mais il s'agit bien de vecteurs) OMn, OMn+1 et MnMn+1 en fonction de n
En déduire la nature du triangle OMnMn+1

4) A quelle condition sur les entiers n et m deux points Mn et Mm sont ils sur une même demi-droite issue de O ?


Alors voilà j'ai fais les questions 1 a et b ainsi que la 2 sans problème mais arrivé à la trois je bloque notamment pour le vecteur MnMn+1 et aussi pour la nature du triangle

[pascal16]

trace les premiers Mn

il faut montrer que l'angle entre OMn et MnMn+1 est +- pi/2

su erreur de ma part
soit rechercher Arg( (Zn+1-Zn)/Zn)

[Kkshiii]

je comprends pas trop pourquoi faire ça (c'est surement la solution hein ) mais je ne vois pas en quoi ça va m'aider à trouver la nature du traingle
de plus je n'ai même pas encore l'affixe de MnMn+1

[pascal16]

le vecteur MnMn+1 a pour affixe Zn+1-Zn, donc si tu l'as.

as-tu tracé les premiers points ?

[Kkshiii]

finalement j'ai trouvé et oui j'ai tracé les points

[Kkshiii]

par contre pour la nature du triangle et la 4 je ne sais toujours pas

[pascal16]

(Zn+1-Zn)/Zn= √2.exp(ipi/4)-1
d'argument pi/2
le triangle est donc au moins rectangle
et comme on connait l'angle entre OMn+1 et OMn = pi/4, le troisième angle est aussi pi/4, le triangle est isocèle

4) comme on tourne de pi/4 entre Zn+1 et Zn, on a arg(Zm-Zn)=(m-n)*pi/4

sur la même demi-droite <=> arg(Zm-Zn)=0