Pour quel n est n⁴+n³+n²+n+1 un carré parfait ?

[xinxin]

n est naturel positif, il faut trouver tous les n tels que n⁴+n³+n²+n+1 est un carré parfait.
3 est une solution. Y-en a-t-il d'autres ?

Factoriser le polynome donne des nombres rationnels, donc ça n'aide pas. Sinon j'ai essayé de l'encadrer avec d'autres carrés, mais ça ne fonctionne pas non plus. Si on écrit n⁴+n³+n²+n+1 =a², on a (n²+n)(n²+1)=(a+1)(a-1), mais je ne vois pas comment résoudre le problème. Merci de m'aider !

[aviateur]

Bonjour si on a n⁴+n³+n²+n+1 =a², posons b=8a (a entier) alors
64(n⁴+n³+n²+n+1)=
i. e ou
On ne peut pas avoir 40 n+55=0 donc et alors
i.e
Une petite étude montre que c.q.f.d

[Archytas]

Coucou,

Comment trouves-tu l'inégalité |b²-u²|>2u-1 ?

[Ben314]

Salut,
.

[aviateur]

Bonjour, oui 'est ça.
En fait je ne me suis pas fatigué. Les carrés les plus proches de sont et
La différence dans les cas sont et . Donc en général, la distance de tout carré distinct de et supérieure où égale à |2u-1| (= 2u-1 ici car u>1).

[Ben314]

Et dans le cas où la somme de puissance de s'arrête à un nombre impair, par exemple ou bien , vous faîtes comment ?

(éventuellement à déplacer dans les "énigmes" : je pense savoir faire ces deux cas là, mais je sais pas si je saurais traiter le cas général . . .)

[aviateur]

Bonjour
La démarche pour n pair ne va plus. On fait donc différemment en utilisant l'expression factorisée. Par exemple pour n=7
on a
n est pair. Un diviseur premier p de a (donc différent de 2) a son carré qui divise l'un des 3 facteur. (Pour le voir, il suffit de supposer que ce n'est pas le cas et arriver à une contradiction ).
On en déduit que chaque facteur est un carré parfait. C'est assez facile de voir que n^2+1 ne peut être un carré parfait.
n est impair. Mais alors l'exposant de 2 dans est impair. imp.
On doit pourvoir généraliser

[Ben314]

n est impair. Mais alors l'exposant de 2 dans est impair.

J'ai un peu des doutes là :
Comme et sont impairs, on a donc la valuation 2-adique de est 2, mais par contre tout ce qu'on peut dire de celle de c'est qu'elle est mais elle peut évidement être paire ou impaire.

[aviateur]

Cas 2 effectivement.
Le raisonnement du cas 1 reste valable pour p diviseur de a
Cela conduit à
On pose alors et et la relation précédente
se simplifie pour donner

La résolution de cette équation donne :
On est amené à résoudre ce problème annexe voir pour quels m
Là je n'ai pas le temps de finir mais le polynôme en m est pair. On peut surement chercher les solutions en suivant le même procédé que j'ai fait pour pour la question initiale.
Alors je pense qu'on trouver un nombre fini de solution (nombre assez petit) et normalement pouvoir finir la question.
Remarque: @ben aurais-tu résolu cela autrement?

[Ben314]

Non, j'ai fait plus ou moins pareil, sauf que dans le cas impair, j'ai vérifié que les trois entiers n+1 ; (n^2+1)/2 et (n^4+1)/2 étaient 2 à 2 premiers entre eux et comme leur produit est le carré (2a)^2 c'est qu'en fait c'est tout les 3 des carrés et ça te fait un max d'équations "peu compatibles" dont certaines un peu plus simple que la tienne.

[Lostounet]

Bonjour si on a n⁴+n³+n²+n+1 =a², posons b=8a (a entier) alors
64(n⁴+n³+n²+n+1)=
i. e ou
On ne peut pas avoir 40 n+55=0 donc et alors
i.e
Une petite étude montre que c.q.f.d

Salut,
Une petite explication pour l'intuition derrière le fait de poser b=8a ?

C'est un peu miraculeux sur la suite :p

[chan79]

salut
J'étais arrivé à ce 64 en écrivant


on trouve a=1/2, b=3/8, c=5/8 et d=55/64
d'où l'intérêt de multiplier les deux membres par 64
Mais je n'étais pas allé plus loin.

[aviateur]

Oui @chen a expliqué pourquoi. Il n'y a rien de miraculeux: on multiplie par 64 pour continuer à travailler avec les entiers.

[Lostounet]

salut
J'étais arrivé à ce 64 en écrivant


on trouve a=1/2, b=3/8, c=5/8 et d=55/64
d'où l'intérêt de multiplier les deux membres par 64
Mais je n'étais pas allé plus loin.

Merci c'est simple !

[ffback]

Salut.

Plus ou moins le même type d'idée: en posant , on a

et
(sauf pour n=0)
donc, si est pair, est strictement compris entre 2 entiers consécutifs donc n'est pas entier, et si est impair, l'unique valeur entiere possible pour est l'entier , et alors
, donc en simplifiant, , ce qui donne ou (exclu si on ne regarde que les entiers positifs)

[ffback]

Peut on montrer que pour tout , l'équation a un nombre fini de solutions?

edit: la réponse est oui, et vous avez déjà fait une bonne partie du boulot
edit 2: bon en fait il me reste un cas à traiter...mais qu'il me semble Ben a déjà réussi si je décrypte bien ses messages
edit 3: je n'arrive par exemple pas encore à résoudre

[aviateur]

Peut on montrer que pour tout , l'équation a un nombre fini de solutions?

edit: la réponse est oui, et vous avez déjà fait une bonne partie du boulot
edit 2: bon en fait il me reste un cas à traiter...mais qu'il me semble Ben a déjà réussi si je décrypte bien ses messages
edit 3: je n'arrive par exemple pas encore à résoudre

Message assez comique, voire incompréhensible:
edi1 et edit2 admettons.
edit 3 après avoir dit edit1 et edit2, tu ne sait pas faire le cas le plus facile!!
Si tu combines, la solution que j'ai donnée pour k=7 et celui de ben, il n'y a pas de problème pour k=3.

[ffback]

Je pense que si j'arrive à faire ce "cas facile" alors j'arrive à faire tous les autres. (J'avais effectivement oublié ce cas, d'où mes edit)

Ta solution pour le cas k=7 à un gap. Il reste à voir quand les valeurs d un certain poly de degré pair est un carré et tu dis qu'on doit pouvoir probablement adapter la première méthode, mais cette méthode ne marche bien que si le coeff dominant est un carré, ce qui n'est plus le cas.

Quant à la méthode de Ben, bah je veux bien le croire mais elle manque un peu de détails...et je ne sais pas si elle marche pour k=3 (car on obtient moins d equations)

[Archytas]

n est impair. Mais alors l'exposant de 2 dans est impair.

J'ai un peu des doutes là :
Comme et sont impairs, on a donc la valuation 2-adique de est 2, mais par contre tout ce qu'on peut dire de celle de c'est qu'elle est mais elle peut évidement être paire ou impaire.

Coucou !

ça doit être un peu différent en effet.

J'ai l'impression qu'une stratégie générale pour aborder ce genre d'équations c'est d'élargir un peu l'anneau (comme expliqué dans l'intro de ce pdf http://websites.math.leidenuniv.nl/algebra/ant.pdf) pour factoriser l'expression de gauche et réduire le problème en étudiant les carrés/les unités/les premiers de notre nouvel anneau.

Ici il faudrait donc se placer dans , une extension cyclotomique de , où est une racine 5-ème de l'unité.

Si on s'arrête à un nombre n tel que n+1 n'est pas premier (en particulier n impair) la somme de gauche n'est pas l'évaluation d'un polynôme cyclotomique en n et donc je pense qu'il faut se placer dans des anneaux de la forme (en utilisant la factorisation de en polynômes cyclotomiques).

Je n'ai pas regardé en détail mais je regarderai si ça marche quand j'aurai deux minutes.

[ffback]

Je vais expliquer pourquoi le cas implique les autres.

On considére

Premier cas : pair.
C'est essentiellement la même démarche que celle déjà faite, qui marcherait en fait pour tout polynôme A de degré pair unitaire: on peut trouver 2 polynômes et à coefficients rationnels avec unitaire, tels que et . Il suffit pour cela de définir de proche en proche les coefficients de Q, en commençant par le plus haut. Ensuite on multiplie tout par où est le ppcm des dénominateurs de Q et R: ainsi avec , et , de sorte que ces nouveaux polynômes sont à coefficients entiers. Ceci fait, on déduit du fait que est négligeable devant que pour assez grand, , et que donc (et donc ) n'est pas un carré excepté si et donc . Mais si ça arrive pour une inifinité de n c'est donc qu'en fait est un carré, ce qui n'est pas le cas ici (par ex car les racines de A sont simples)
Il y a donc seulement un nombre fini d'entiers telles que soit un carré.