Triplet pythagoricien

[qyjqb]

Salut j'ai un exercice d'arithmétique sur les Triplets pythagoriciens
voilà l'énoncé

On considère dans Z l'équation : x²+5y²=z²

1-On pose d=pgcd(x,y)
Montrer que l'on peut restreindre la résolution de l'équation à d=1 (j'ai pu résoudre celle-ci mais après cette question j'ai rien pigé)

2-On pose d'=pgcd((z-x),(z+x))
Montrer que d'=1 ou d'=2

3-Montrer que si d'=1 alors il éxiste (u;v) dans Z tel que : u et v sont impairs et y=uv et 5u²+v²=z²

4-Montrer que si d'=2 alors il éxiste (u;v) dans Z tel que : u et v sont impairs et y=2uv et 5u²+v²=z²

5-Résoudre l'équation

Merci

[pascal16]

vu de loin :
d'=pgcd((z-x),(z+x)) =pgcd(2z,(z+x)) ?

si d' >2, d divise z, et s'il divise z+x aussi, il divise x et on doit arriver à une contradiction avec 1/

[qyjqb]

Merci
Mais dans cette question on sait pas si pgcd(x,y)=1 càd que pgcd(x,z)=1

[pascal16]

c'est supposé, et dans tous les cas :
tu peux répondre dans le cas ou d=1.
puis dire comment déduire les autres solutions à partir de celle-ci.

[qyjqb]

je ne vois pas beaucoup ce que vous voulez dire par le deuxième cas où d est différent de 1
si on montre dans ce cas que d est supérieur à d' on peut dire que c'est une contradiction mais je ne vois pas comment je peux montre ceci

[qyjqb]

Pour la question suivante si d'=1
on sait que z-x et z+x ont la même parité or ces deux nombres ne peuvent pas être pairs car dans ce cas d'=2 donc z-x et z+x sont impairs par conséquent x et z ont des parités différentes or z ne peut pas être pair car dans ce cas x et y seront impairs si on remplace les deux nombres par 2k+1 et 2k'+1 on trouvera que z est congru à 2 modulo 4 ce qui est impossible car un carré d'un nombre pair est divisible par 4 donc z est impair et x est pair d'où y est impair donc on peut dire que y=uv avec u et v sont impairs

[pascal16]

pour la 1/
x²+5y²=z²
soit d = pgcd(x,y), posons x=dx' et y=dy'
x²+5y²=z²
équivaut à d²(x'²+5y'²) =z²

2 cas :
d n'est pas un diviseur de z -> aucune solution
d est pas un diviseur de z, les seules solutions sont celles x'²+5y'² =z² avec pgcd(x,'y')=1

donc rechercher toutes les solutions de x²+5y²=z² est équivalent à rechercher toutes les solutions de x²+5y²=z² avec pgcd(x,y)=1


https://www.maths-forum.com/enigmes/equation-type-t52291.html

[qyjqb]

Merci pour l'aide et pour le lien qui m'a donné plusieurs idées