Dm de maths

[Matt190501]

Bonjour j'ai un Dm de maths pour Lundi, il se compose de 2 exercices jai deja fais le premier et j'ai commencer le 2ème mais je bloque

Enoncé :

Soit la fonction f définie sur par f(x)=e2x-ex-x

1.a) Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définitions. (fait)
b) Calculer f'(x) puis vérifier que pour tout réel x, f(x)=(2ex+1)(ex-1) (fait)
c) Etudier le sens de variation de f et dresser son tableau de variation (fait)
d) En déduire le signe de f(x) pour x à (fait)

a désigne un nombre réel quelconque.
Soit la suite (un) définie par : u0=a et pour tout n , un+1=eun(eun-1)

2.a)Montrer que pour tout entier naturel n, un+1-un=f(un) (fait)
b)En déduire le sens de variation de la suite (un) (fait)
c)Justifier que pour tout entier naturel n, un>=a (je bloque a cette question )

3. On suppose dans cette question que a>0

a) Montrer que pour tout entier naturel n, un+1-unf(a)

b) Démontrer par récurrence que pour tout n, una+nf(a)

c) Etudier la convergence de la suite (un)

[pascal16]

il doit manquer "≥"
a) Montrer que pour tout entier naturel n, un+1-un ≥ f(a)
par récurrence
U1-Uo=f(Uo) =f(a)
Un+1-Un=f(Un)
mais Un croissant, Un ≥ a
mais f croissante sur [0;+oo[ donc ...

en particulier, tout terme Un est plus grand que la suite arithmétique de raison f(a) et de premier terme a.
Un+1-Un ≥ f(a) entraîne Un ≥ n f(a) +a
se démontre par récurrence aussi

[Matt190501]

d'accord pour cette question mais jesuis bloqué a la question précedente

c)Justifier que pour tout entier naturel n, un > ou egale à a

[evaristeG]

Bonjour.
Je me permets d'intervenir (j'espère que cela ne dérangera pas pascal16) : je n'ai pas fait les questions, mais si tu as trouvé que la suite était croissante, alors la question c) est rapide. En effet, . Vois-tu le lien ?

[Matt190501]

j'ai ecrit que Un est strictement croissante et que U0=a alors Un est forcement egale ou plus grand à a

[evaristeG]

Oui, c'est le genre de question que je ne supporte pas (en tant que prof) car il n'y a pas grand-chose à écrire (donc autant l'incorporer dans la question précédente). Mais c'est ça. En effet, pour tout entier naturel n, donc et voilà.

[Matt190501]

en tant qu'élève je pense aussi que c'est questions sont con parce qu'on répond bien et c'est tellemnt court qu'on a l'impression qu'on c'est trompé

parc contre je n'ai pas vraiment compris ce qu'il fallait faire pour la question 3.a) parce que Pascal16 a expliquer mais je n'est pas trop compris sont explixation

[evaristeG]

On souhaite démontrer que .

On sait que donc car f est croissante.
Donc .

[Matt190501]

une dernier question comment je demontre que Un est superieur ou égale à a+n x f(a)

[pascal16]

Un ≥ a+n.f(a)
vrai au départ Uo=a ≥ a+0

de la question précédente, tu as :
Un+1 ≥ Un+ f(a)
tu utilises ton HR et c'est fini

Le site est collaboratif, tout le monde peut y apporter sa pierre.

[Matt190501]

d'accord et pour savoir la convergence de la suite ?

[pascal16]

c'est quoi la limite (impropre) d'une suite arithmétique de raison positive ?

et celle d'une suite plus grande qu'un suite arithmétique de raison positive ?

[Matt190501]

c'est plus l'infini pour les 2

[Matt190501]

mais la convergence de la suite ne veux pas dire sa limite il faut un nombre precis sinon elle diverge ?

[pascal16]

Elle n'a pas de limite, elle diverge vers +oo

au tableur, si a=1, on sature la capacité du tableur au bout de 3-4 termes
si a = 0.1 on a une dizaine de termes
si a=0.01 un peu plus...