Une fonction C infini

[math71]

Bonjour,
C'est une question à propos d'un DM sur des fonctions
1) On considère la fonction f définie par
a) Montrer que f peut se prolonger par continuité en 0. on note encore f la fonction définie sur R. montrer que f est dérivable en 0. Que vaut f'(0)?
b) Etudier les variations de f. représentation graphique.
2) Montrer que pour tout n de N et tout x de , on peut écrire
, où est un polynôme et trouver une relation entre et
Voilà pour les 2 premières questions que j'ai réussi à faire.
je sais que est un polynôme pair de degré 2(n-1), de coefficient dominant et que l'on a
D'autre part on a la relation:

Voici la première question sur laquelle je bloque:
3) Montrer que sur , a n-1 racines réelles simples et que ces racines séparent celles de
J'ai commencé par dire que est non nul donc 0 n'est pas racine de , et vu que est pair chaque fois que x est racine de , -x l'est aussi.
Comme le degré de est 2(n-1), je peux déjà dire que a au maximum n-1 racines dans .
Je sais que x est racine simple d'un polynôme si et seulement si il est racine du polynôme mais pas de sa dérivée. mais cela ne me conduit nulle part vue que je ne sais rien sur la dérivée ici.
J'ai aussi essayé par récurrence, mais sans succès.
Je pense qu'il faut exploiter la définition de qui intervient dans la dérivée de, mais je ne vois pas trop comment. Voilà pourquoi je m'adresse à vous, pour m'aiguiller un peu... Merci d'avance pour toute suggestion de raisonnement.

[aviateur]

Bonjour
Il faut observer que tes polynômes sont pairs.
Il faut établir que pour chaque racine de la dérivée change de signe. Alors d'après la relation
en chaque racine de change de signe et va donc s'annuler entre 2 racines de consécutives de

[Ben314]

Salut,
Normalement, ça se fait relativement bien par récurrence :
Si admet racines strictement positives alors vu qu'il est pair, il en admet sur et comme il est de degré c'est qu'il est scindé et à racines simples et on en déduit "la tête" de son tableau de variation et en particulier le fait que sont de signe alternés avec vu que .
Et comme est du signe de c'est que les signes des sont alternés en commençant par du strictement négatif ce qui te permet de conclure modulo de voir que et que la limite en +oo de est du signe opposé à celui de .

P.S. : Vu que j'avais laissé ça "sur le feu" en faisant autre chose, j'ai pas vu le message d'aviateur qui dit. . . la même chose. . .

[math71]

Merci beaucoup à tous les 2! J'avais essayé de travailler avec le tableau de variations, mais je manque de pratique... En tous cas c'est très clair, merci.
La question 4) il faut montrer que f est sur R, pour cela pas de pb.
5) C'est une autre fonction, mais je n'ai pas encore assez cherché. Je reviendrai vers vous si je cale à nouveau.