Inégalité dans un triangle

[Budin]

Bonjour !
Dans un triangle non aplati, si je note K la somme des trois hauteurs et P le périmètre, ainsi que a le plus long côté, je crois qu'on a la double inégalité
a < K <= ((racine de 3)/2) P.
La partie gauche est évidente et la partie droite est très raisonnable, l'égalité ayant lieu pour le triangle équilatéral. Mais je ne sais pas le démontrer.
Amicalement,

[chan79]

salut
Qu'est-ce que tu appelles un " triangle non aplati "?

[fastandmaths]

@chan79

Cas d'un triangle aplati c 'est sa je crois:

Si le point V est un point du segment [MN], alors :
MN = MV + VN ce n'est qu'un segment...

En revanche , j 'ai fais un peu des recherches sur ce problème de géométrie , pour le résoudre faudrait exploiter le théorème de Erdös-Mordell et même les barycentres sauf erreur

vous laisse faire...

[chan79]

salut
Dans ce cas de figure, ça n'a pas l'air d'aller

[Budin]

Merci de vos observations.
Un triangle non aplati, ou "vrai triangle" est constitué de trois points non alignés.
Pour la figure de chan79, non, il n'y a pas de problème, la somme des hauteurs est inférieure au périmètre multiplié par racine de trois sur deux.
Je ne pense pas non plus que cette inégalité se démontre avec Erdös Mordell, ni avec les barycentres.
Je pense plutôt à l'inégalité de la moyenne harmonique et arithmétique, et à un calcul algébrique.
Bonne journée,

[chan79]

Sur ma figure, a>K

[Black Jack]

Salut,

La partie de gauche a été mise à mal par chan79 (que je salue)

Pour la partie de droite :

On peut le faire analytiquement ... mais ce n'est pas immédiat (long bien que probablement sans difficulté majeure)

On choisit un repère tel que A(0;0) ; B(1;0) et C(a;b) avec a et b des réels quelconques.

On exprime que l'aire = 1/2*base*hauteur correspondante et on trouve les différentes hauteurs en fonction de a et b :

h3 = b ; h1 = b/V((a-1)²+b²) et h3 = b/V(a²+b²)

On a alors K = b.(1 + 1/V((a-1)²+b²) + 1/V(a²+b²))

et P = 1 + V(a²+b²) + V((a-1)²+b²)

K/P = ... (ne dépend que des 2 variables a et b)

On cherche alors le maximum de la fonction K/P

dérivée partielle par rapport à a , puis par rapport à b ... et on devrait arriver (si on a le courage de dériver ..., pas moi)

Il y a sans aucun doute des méthodes plus élégantes .

[Budin]

Ah oui ! Tu parlais de la borne inférieure ! J'ai parlé trop vite. En effet, tu as raison, c'est 0.
Bien sûr, c'est plutôt la borne supérieure qui m'intéresse. Je note les hauteurs e, f, g pour éviter les indices et a, b, c, les côtés. On a a.e = b.f = c.g = 2A, où A est l'aire. Il faut donc démontrer e+f+g <=[(rac 3)/2] [2A]. (1/e + 1/f + 1/g ).
Je note h la moyenne harmonique des trois hauteurs, m leur moyenne arithmétique
3/h = 1/e+1/f+1/g. Et je sais que h <= m = (e+f+g)/3.
On a h = 3efg /(fg+eg+ef) <= (e+f+g)/3.
Tout me semble raisonnable (quoique, de manière illusoire, l'inégalité parait dans le mauvais sens) mais le final algébrique me résiste !

Merci à Black Jack. Oui, la manière analytique, pourquoi pas, je verrai ça demain.

[chan79]

juste une idée
l'aire d'un triangle de périmètre est inférieure ou égal à l'aire d'un triangle équilatéral de même périmètre, donc de côté .

soit
J'espère que ça pourra t'aider.

[Lostounet]

Bonjour !
Dans un triangle non aplati, si je note K la somme des trois hauteurs et P le périmètre, ainsi que a le plus long côté, je crois qu'on a la double inégalité
a < K <= ((racine de 3)/2) P.
La partie gauche est évidente et la partie droite est très raisonnable, l'égalité ayant lieu pour le triangle équilatéral. Mais je ne sais pas le démontrer.
Amicalement,

Il me semble qu'on peut prouver une inégalité encore plus "jolie".

Si on note la hauteur issue de A, la médiane issue de B et la bissectrice de l'angle C, nous avons:


J'ai la référence chez moi si la preuve t'intéresse (c'est un livre sur les inégalités). Je me souviens pas s'il y avait des hypothèses sur le triangle (acutangle ou pas). A voir.