Bonjour à tous,
J'ai repris les mathématiques à partir de livres à titre personnel, et récemment je suis tombé sur un exercice que je n'arrive pas à résoudre.
Par soucis de notations, notons que et désignent respectivement les espaces de fonctions en escalier et intégrables au sens de Riemann définies sur le segment à valeurs dans .
Dans Théorie de l'intégration, 7e édition par M. Briane et G. Pagès, on trouve à la page 21 le problème suivant :
Montrer que si et si est monotone "coordonnée par coordonnée" alors .
Posons . Le but est donc, pour donné, de trouver et de sorte que :
avec la condition
C'est à peu prés l'avancement de ma résolution : je n'arrive pas à construire ces fonctions en escaliers. Je serais tenté de dire que se construit par composition de avec des fonctions en escaliers associées à pour chacune des fonctions et de même pour .
Mais je parviens pas à démontrer les inégalités du paragraphe précédent, inégalités qui forment la définition des fonctions intégrables au sens de Riemann.
Aussi, je n'en suis pas certain puisqu'il s'agit de la première fois que je rencontre ce type de fonction, mais j'ai interprété le fait de dire que est monotone "coordonnée par coordonnée"[/tex] comme le fait de dire que :
Pour tout et pout tout , définie par où apparaît en position, la fonction est monotone.
Bref, voilà pour ma compréhension de l'exercice. Celui-ci est au début du livre, donc ne doit pas être si difficile. Je passe dons à côté d'une astuce, ou de quelque chose que je ne perçois pas...
De plus, il est possible que je doive construire ces deux fonctions en escalier de zéro. Mais mes tentatives en ce sens ont également échoué.
Pourriez-vous m'aider svp ?
Merci d'avance !