Difficulté sur inégalité

[galèrien]

Bonjour,
Je n'arrive pas à avancer sur deux questions de cet exercice: la d) et la 2.b)
Pour la d) je n'ai pas d'idée de comment commencer
Pour la 2.b), je pense qu'il faut séparer la somme en deux mais après je n'arrive pas à aboutir, j'ai l'impression de tourner en rond...
Pourriez-vous me donner une piste ?

http://www.noelshack.com/2019-03-3-1547 ... 9-1966.jpg

[LB2]

Bonsoir,

- pour la d), je suppose que x et y sont dans l'intervalle ouvert ]0,1[.
Il y a surement un raisonnement "élégant et astucieux" à base de convexité/concavité, mais la méthode bourrine de l'étude de la fonction différence fonctionne également.
Pour y fixé, tu considères la fonction qui à x associe Delta(x)=coté gauche - coté droit. Attention cette fonction Delta dépend de y, mais c'est une fonction d'une variable (la variable x). Il s'agit de montrer que Delta(x) est positive. En dérivant deux fois Delta, on trouve que Delta est convexe. Donc sa dérivée est croissante. Or, sa dérivée s'annule pour x=y. Donc le minimum de Delta est atteint en x=y, de plus Delta(y)=0, ce qui conclut ce raisonnement.

PS : est-ce extrait d'un sujet de concours?

[LB2]

- pour la 2.b. il s'agit tout d'abord de couper la somme en 2 comme tu l'as dit, puis d'utiliser la convexité de la fonction t -> tln(t) sur ]0,1[ pour minorer chaque somme par convexité, avec des poids bien choisis :

Pour la somme B+, on prend lambda(i)=y(i)/y(B+) qui sont bien positifs de somme 1, et t_i=x_i/y_i
On obtient le premier terme comme minorant
Pour la somme B-, on prend lambda(i)=y(i)/y(B-) qui sont bien positifs de somme 1, et t_i=x_i/y_i
On obtient le second terme comme minorant

Petite subtilité: B- n'est jamais vide (principe des tiroirs), mais B+ peut être vide. Alors xi=yi pour tout i. et x(B+)=y(B+)=0 d'après l'énoncé. L'inégalité 2)b) n'est alors pas définie (0/0), mais moralement correcte par croissances comparées.

[galèrien]

C'est extrait du sujet de l'option A du concours "CEAS" de l'année 2018
Je te remercie pour ton aide, je regarde ça ce soir