Polynomes

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OnePunchMan
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Polynomes

par OnePunchMan » 16 Jan 2019, 22:53

Bonsoir, j'ai besoin de votre aide car je bloque sur un exo

Je dois déterminer le coefficient dominant du polynome (Pn) définit par P0=1, P1=X et Pn+2=2XPn+1-Pn.
J'ai démontré par récurrence que le degré de Pn est n mais je bloque pour le coefficient dominant.

Enfin, je dois déterminer le coefficient constant de P2n.

Merci



aviateur
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Re: Polynomes

par aviateur » 16 Jan 2019, 23:03

Bonjour à chaque étape le coefficient est multiplié par 2.
Donc à pour coefficient dominant

pascal16
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Re: Polynomes

par pascal16 » 16 Jan 2019, 23:05

P0=1, P1=X et Pn+2=2XPn+1-Pn.
avec un '2' dans la relation, on peut penser pour n>=2 que le coef dominant est 2^n

Enfin, je dois déterminer le coefficient constant de P2n.

écris simplement les premiers polynômes et tu vas voir que "2XPn+1" n'a pas de terme constant, il est donc apporté par "-Pn", récurrence facile.

OnePunchMan
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Re: Polynomes

par OnePunchMan » 16 Jan 2019, 23:29

Merci pour vos réponses

J'ai écrit les premiers polynomes:
P2=2X²-1
P3=4X^3-3X
P4=8X^4-8X²+1

Est ce que cela veut dire que le coefficient constant de P2n est -Pn ?

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Re: Polynomes

par Sa Majesté » 16 Jan 2019, 23:44

Oui mais tu peux être encore plus précis

OnePunchMan
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Re: Polynomes

par OnePunchMan » 16 Jan 2019, 23:55

Le coefficient vaut 1 ou -1

Mais je ne sait pas démontrer que le coefficient dominant de Pn est 2^n-1 et que le coefficent constant de P2n est -Pn

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Re: Polynomes

par Sa Majesté » 17 Jan 2019, 00:08

Le coefficient constant de P2n est (-1)^n
Tout ça se démontre par récurrence

pascal16
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Re: Polynomes

par pascal16 » 17 Jan 2019, 12:15

et le terme constant de P2n-1 est 0.

 

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