Exercice de réflexion sur les suites.

[GVK]

Bonjour, je bloque sur un petit exercice de réflexion et peine à trouver des exemples/contre-exemples face aux affirmations suivantes :

Soit (Un) une suite strictement positive telle que (Un)^2 est croissante et tend vers +∞ . Alors :
1) (Un) est bornée. 2) (Un) est minorée 3) (Un) est majorée. 4) la suite 1/Un tend vers +∞.
5) les suites 1/Un et −1/un sont adjacentes. 6) la suite e^Un tend vers 0.
7) la suite 1/Un tend vers 0. 8) les suites (Un) et (−Un) sont adjacentes.

pour l'instant, j'ai pu comprendre ça :
1) => fausse
2) => vraie car (Un)> 0 donc minorée par 0
et le reste je ne sais pas, est-ce que le fait que (Un)^2 tende vers +∞ implique que (Un) tende vers +∞ aussi ? Merci pour votre aide.

[Lostounet]

Bonjour, je bloque sur un petit exercice de réflexion et peine à trouver des exemples/contre-exemples face aux affirmations suivantes :

Soit (Un) une suite strictement positive telle que (Un)^2 est croissante et tend vers +∞ . Alors :
1) (Un) est bornée. 2) (Un) est minorée 3) (Un) est majorée. 4) la suite 1/Un tend vers +∞.
5) les suites 1/Un et −1/un sont adjacentes. 6) la suite e^Un tend vers 0.
7) la suite 1/Un tend vers 0. 8) les suites (Un) et (−Un) sont adjacentes.

pour l'instant, j'ai pu comprendre ça :
1) => fausse
2) => vraie car (Un)> 0 donc minorée par 0
et le reste je ne sais pas, est-ce que le fait que (Un)^2 tende vers +∞ implique que (Un) tende vers +∞ aussi ? Merci pour votre aide.

Salut,
Comme (Un) est une suite positive c'est qu'elle est effectivement minorée par 0 donc 2) est vraie.

Par contre, si Un était majorée disons par un certain nombre positif M, on aurait pour tout n:
0 < Un < M donc par croissance de la fonction carré sur R+, 0< Un^2 < M^2
La suite (Un)^2 serait donc majorée aussi par M^2.
Mais (Un)^2 est croissante, donc elle serait croissante et majorée donc convergente vers un réel... Or ce n'est pas le cas car nous savons qu'elle tend vers + l'infini

Donc 3) et 1) sont...

[GVK]

donc la 3) et la 1) sont fausses.

[GVK]

Cela signifie entre autres que (Un) tend vers +∞ et que donc :
4 ) => fausse car lim (n->+∞) (1/Un) = 0
5 ) => vraie car lim (n->+∞) (-1/Un - 1/Un) = 0
6 ) => fausse car lim e^(Un) = +∞
7) => vraie
8) => fausse car lim (n->+∞) (-Un - Un) = -∞

Est-ce bien correct ?

[Lostounet]

Cela signifie entre autres que (Un) tend vers +∞ et que donc :
4 ) => fausse car lim (n->+∞) (1/Un) = 0
5 ) => vraie car lim (n->+∞) (-1/Un - 1/Un) = 0
6 ) => fausse car lim e^(Un) = +∞
7) => vraie
8) => fausse car lim (n->+∞) (-Un - Un) = -∞

Est-ce bien correct ?

Ce n'est pas parce que la suite (Un) est positive et non majorée qu'elle tend forcément vers +infini. On n'a montré que ça pour le moment.

Par exemple la suite: (Un) définie par
U(n)= n si n est pair
Et U(n)=0 si n est impair

Cette suite est positive et non bornée.
Pourtant elle ne tend pas vers +l'infini (elle n'a pas de limite).

Il faut donc vraiment donner les arguments qui permettraient de dire que Un est croissante...
Essayons d'exploiter le fait que (Un)^2 l'est.

[GVK]

Ça fait des heures que je cherche le lien entre les deux suites mais je ne trouve pas, désolé.

[Lostounet]

Ça fait des heures que je cherche le lien entre les deux suites mais je ne trouve pas, désolé.

Par exemple, fixons n un entier. Nous savons que la suite (U_n^2) est croissante Donc:


Soit aussi en factorisant:



Comme (Un) est forcément positive c'est que Un+1 + Un est positif.

Donc Un+1-Un est positif aussi ce qui permet de dire que Un+1> Un

Donc (Un) est croissante.

On aurait pu utiliser la croissance de la fonction carré aussi vu que Un est positive on a une équivalence.

[GVK]

Je comprends mieux désormais, merci pour les réponses